高中數學冪函式公開課教案

高中數學冪函式公開課教案

導語：冪函式的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至於是否出現在第二、三象限內，要看函式的奇偶性。冪函式教案可以怎樣去寫?以下為品才網小編收集整理的相關教學方案，歡迎閱讀

高中數學冪函式公開課教案

教學目標：

知識與技能：透過具體例項瞭解冪函式的圖象和性質,並能進行簡單的應用。 過程與方法：能夠類比研究一般函式、指數函式的過程與方法,來研究冪函式的圖象和性質。

情感、態度、價值觀：體會冪函式的變化規律及蘊含其中的對稱性。 教學重點：從五個具體冪函式中認識冪函式的一些性質。

教學難點：畫五個具體冪函式的圖象並由圖象概括其性質,體會圖象的變化規律。 教學過程：

一.溫故知新

複習指數函式、對數函式的定義

形如yax(a0,a1)的函式稱指數函式;

形如ylogax(a0,a1)的函式稱指數函式。

提問：之前還學過哪些函式?

生答：一次函式、二次函式、反比例函式、正比例函式。

將這些函式的特殊形式寫出：yx,yx,yx

提問：這些是指數函式嗎?若不是說出它們與指數函式的相同點與不同點。 生答：相同點：冪的形式。不同點：自變數x的位置。

引出上述三個函式的一般形式yx，從而引出課題-------冪函式

二.冪函式定義

1.冪函式的定義：一般地，形如yx(R)的函式叫稱為冪函式(power function), 其中x是自變數，是常數。

概念辨析：

在下列函式中哪些是冪函式?

32(1)y2x (2)yxx (3)y(x2) (4)y211 4x

同桌討論，給出觀點

例1：已知冪函式y=f(x)的影象過點(4，2)，試求出這個函式的解析式。

1解：設yx，又過(4，2)，所以42yx2 21

三.探究冪函式圖象與性質

可透過研究幾個常見冪函式的圖象與性質------在同一座標系中畫出yx,yx,yx,yx,yx函式的圖象，然後觀察圖象，歸納特徵。 學生活動：在事先發給他們的作圖紙上透過描點法畫

圖。

教師巡視並輔導。

師生一起校對所畫圖象的正確性，並根據圖象編成

冪函式操，(幫助學生記圖的同時，也提高學生學習的

興趣)。

要求學生透過觀察圖形，完成性質表格的填寫

21312

師：引導學生觀察圖象，歸納概括冪函式的性質及圖象變化規律。

生：觀察圖象，分組討論，探究冪函式的性質和圖象的變化規律，展示各自的結論進行交流評析。

教師幫助歸納總結

冪函式性質歸納：

(1)所有的冪函式在(0，+∞)都有定義，並且圖象都過點1,1。

(2)0時，冪函式的圖象透過原點，並且在區間[0,)上是增函式。

特別地，當0〈1時，冪函式的圖象下凸;當1時，冪函式的圖象上凸;

(3)0時，冪函式的圖象在區間0,上是減函式。在第一象限內，當x從右邊趨向

原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨於時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸 。

四.探究與發現

探究題：如圖所示，是冪函式yx在第一象限內的圖象，已知分別取,,1,12

233四個2

值，則相應圖象依次為： 。

提問：你們是否發現什麼規律?(學生討論，給出猜測) 利用幾何畫板探索冪函式yx圖象隨的變化規律

五.小結

1.冪函式的'概念

2.五種常見的圖象分別為=3，2，1，(1/2),-1

3.性質：定義域

值域

單調性(>0和<0兩種情況)

奇偶性

公共點

體現思想：數形結合 從特殊到一般

高中數學冪函式公開課教案

【教學目標】

【知識與技能】

1. 2.

理解冪函式的概念.

透過具體例項研究冪函式的圖象和性質，並初步進行應用.

【過程與方法】透過對冪函式的學習，使學生進一步熟練掌握研究函式的一般思想方法. 【情感、態度價值觀】

1. 2.

【重點難點】

重點：透過六個具體的冪函式認識概念，研究性質，體會圖象的變化規律. 難點：畫六個冪函式的圖象並由圖象概括冪函式的一般性質. 【突破方式】

教師引導學生動手作圖、媒體演示多個冪函式圖象，深化學生對圖象的直觀認識;觀察冪函式圖象，歸納冪函式的性質，加強學生對冪函式性質的理解和記憶. 【教學策略】

【教學順序】

複習引入，歸納定義，研究圖象，歸納性質，應用性質. 【教學方法與手段】

1.採用師生互動的方式，在教師的引導下，學生透過思考、交流、討論，理解冪函式的定義和性質，體驗自主探索、合作交流的學習方式，充分發揮學生的積極性與主動性.

2.利用投影儀及計算機輔助教學. 超級連結到課件3.3冪函式(1)(個人獨立製作) 【教學過程】 創設情境

前面我們學習了函式定義，研究了函式的一般性質，並且研究了指數函式和對數函式.函式這個大家庭有很多成員，如一次函式、二次函式、反比例函式、指數函式、對數函式等.它們在數學中的都承擔著各自的任務，每個成員又都有它們各自鮮活的個性.今天，我們利用研究指數函式、對數函式的研究方法，再來認識一位新成員. 請大家看如下問題.

進一步滲透數形結合、分類討論的思想方法. 體會冪函式的變化規律及蘊含其中的性質. 透過引導學生主動參與作圖、分析圖象，培養學生的探索精神，並在研究函式變化的過程中滲透辯證唯物主義的觀點.

2

3

1

1

(板書：yx,yx,yx,yx2,yx這種形式的函式就是冪函式.(板書課題：冪函式) 探究新知

,.)抽取這幾個解析式結構上的共同特徵：我們能夠

a

發現它們的右端都是冪的形式，並且底數是自變數x，冪指數是常數. 也就是說，它們可以寫成yx的形式，

冪函式的定義(形式定義) 一般地，形如yx(R)的函式稱為冪函式，其中是常數.

自變數x是冪的底數，換句話說，冪的底數是單變數x，冪指數是個常數，冪的係數是1，符合上述形式的函式，就是冪函式.

請同學們舉出一個具體的冪函式.

從引例和同學們剛才舉的例子中，我們可以發現，冪指數可以是正數、負數，也可以是0.冪函式與指數函式，對數函式一樣，都是基本初等函式.

課堂練習 1.指出下列函式中的冪函式. y



1x

2

,yxx,yx

22

,yx,y5.

5x

探究新知 按照從特殊到一般的原則，我們先來研究幾個具有代表意義的冪函式.

1

yx,yx,yx,yx2,yx,yx

2312

.

請同學們用描點法在平面直角座標系中畫出上述函式的圖象.我們在前面的課程中已經研究過了函式yx與

2

yx的性質，它們的圖象已經呈現在座標紙中了，在這裡，我們只畫出餘下四個函式的圖象.(時間關係，分四

組)

根據手裡作出的圖象，以小組為單位對照函式圖象，討論以下四個問題： 1.描點法畫函式圖象的步驟;(列表、描點、連線) 2.互相檢查函式圖象的畫法，圖象是否一致; 3.討論在畫圖象過程中出現的問題;

4.探究冪函式圖象的變化規律，歸納冪函式的性質.

透過剛才觀察同學們作圖，其中幾個同學的圖象特別規範，請看. 變化趨勢.

首先可以很明顯的看到，上述六個冪函式的圖象都過同一個定點(1，1). (一邊分析函式圖象的特徵，一邊總結函式性質，填寫表格.)

從這些函式的圖象我們可以看到，冪函式隨著冪指數的取值不同，它們的性質和圖象也存在著差異，請同學們根據這個表格，尋找這6個冪函式的共性?

定義域不同，但有公共區間(0，+∞).

為了更好地觀察函式圖象特徵，總結冪函式的性質，我們把6個冪函式的圖象畫在同一平面直角座標系中(.這是冪函式„„的圖象„„)

總結性質

雖然這6個冪函式圖象所分佈的象限不同，但是我們還是不難發現它們共同的特徵.這6個冪函式在(0，+∞)都有定義，圖象都過點(1，1).

注意到這6個冪函式在第一象限內的單調性的差異，我們來觀察當0時的函式圖象，(演示幾何畫板，隱藏0時圖象)很明顯，它們的圖象除了過點(1，1)外，還過原點，並且在區間[0,)上是增函式. 再來觀察當0時的函式圖象，(演示幾何畫板，顯示0時圖象，隱藏0時圖象)冪函式在區間(0,)上是減函式.在第一象限內，當自變數x取值從右邊趨於0時，圖象在y軸右方無限地靠近y軸，但不與y軸相交，當自變數x取值趨於時，圖象在x軸上方無限地靠近x軸，但不與x軸相交.

演示畫板，改變冪指數的值，觀察函式圖象的變化趨勢，不難發現，所有冪函式在(0，+∞)都有定義，並且圖象都過點(1，1);當冪指數0時，冪函式都過原點，在[0,)上是增函式;當冪指數0時，在(0,)上是減函式，在第一象限內，當x從右邊趨向於0時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸，當x趨於時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸.

性質總結如下：

下面我們應用冪函式的性質來解決問題. 例題解析

例1 比較下列兩個代數式值的大小：

3

3

32

32

23

23

(1)2.34,2.44;(2)(2)



,(3)



;(3)(a1)

1.5

,a

1.5

;(4)(2a)

2,2

分析：觀察所給的兩個代數式，都是冪的形式.又因為冪指數相同，而底數不同，所以想到要利用冪函式的性

質解決此類問題.

3

3

3

3

(1)解：考察冪函式yx4，因為yx4在(0，+∞)上單調遞增，而且2.3<2.4,所以2.342.44. 以下各題同理可解：(2)(

2

2)



32

(3)



32

;(3)(a1)

1.5

a

1.5

;(4)(2a)

2



23

2



23

.

例2 討論函式yx3的定義域、奇偶性，作出它的圖象，並根據圖象說明函式的單調性.

2

解：要使yx3

2

x有意義，x可以取任意實數，故函式定義域為R. 2

23

2

∵f(-x)=(x)

3

，∴函式yx3是偶函式; x=f(x)

2

其圖象如右圖所示. 冪函式yx3在[0，+)上單調遞增，在(-∞，0)上單調遞減.

思考與討論

冪函式yx



(R)，當1,3,5,,(正奇數)時，函式有哪些性質?

(演示畫板)定義域為R，值域為R，是奇函式，在(-∞，+∞)上是增函式. 當2,4,6,,(正偶數)時，這類冪函式的性質和特點，留做同學們課下討論. 課堂練習

3

2.冪函式yx4的單調遞增區間是________.答案：0,

1

3.a1.2,b0.9歸納小結

2



12

1

,c1.12的大小關係是________.

答案a>b>c

本節課我們學習了冪函式的定義，透過作出6個具有代表意義的冪函式的圖象，歸納總結冪函式的共同性質，這也是我們研究函式的一般思想方法. 佈置作業

3

作出函式yx2的圖象，根據圖象討論這個函式有哪些性質，並給出證明.

透過本節課的學習，相信冪函式已經在大家的頭腦中留下十分深刻的印象.最後，讓我們在悠揚的音樂聲中給大家展示一個數學公式，這是作為基本初等函式的冪函式在高等數學中的應用，用含有階乘的冪指數是正整數的冪函式形式來表示e——泰勒公式.

x

e1x

x

x

2

2!



x

3

3!



x

n

n!

(xR)

