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鴿巢問題課堂實錄

鴿巢問題課堂實錄

19世紀的德國數學家狄利克雷運用於解決數學問題的,所以又稱“狄利克雷原理”,也稱之為“鴿巢問題”。“鴿巢問題”的理論本身並不複雜,甚至可以說是顯而易見的。以下是小編為大家整理分享的鴿巢問題課堂實錄,歡迎閱讀參考。

鴿巢問題課堂實錄

一、單元教材分析:

本教材專門安排“數學廣角”這一單元,向學生滲透一些重要的數學思想方法。和以往的義務教育教材相比,這部分內容是新增的內容。本單元教材通過幾個直觀例子,藉助實際操作,向學生介紹“鴿巢問題”,使學生在理解“鴿巢問題”這一數學方法的基礎上,對一些簡單的實際問題加以“模型化”,會用“鴿巢問題”加以解決。在數學問題中,有一類與“存在性”有關的問題。在這類問題中,只需要確定某個物體(或某個人)的存在就是可以了,並不需要指出是哪個物體(或人)。這類問題依據的理論我們稱之為“抽屜原理”。“抽屜原理”最先是19世紀的德國數學家狄利克雷運用於解決數學問題的,所以又稱“狄利克雷原理”,也稱之為“鴿巢問題”。“鴿巢問題”的理論本身並不複雜,甚至可以說是顯而易見的。但“鴿巢問題”的應用卻是千變萬化的,用它可以解決許多有趣的問題,並且常常能得到一些令人驚異的結論。因此,“鴿巢問題”在數論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應用。

二、單元三維目標導向:

1、知識與技能:(1)引導學生透過觀察、猜測、實驗、推理等活動,經歷探究“鴿巢原理”的過程,初步瞭解“鴿巢原理”的含義,會用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題。

2、過程與方法:經歷探究“鴿巢原理”的學習過程,體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動的學習方法,滲透數形結合的思想。

3、情感態度與價值觀:(1)體會數學與生活的.緊密聯絡,體驗學數學、用數學的樂趣。(2)理解知識的產生過程,受到歷史唯物注意的教育。(3)感受數學在實際生活中的作用,培養刻苦鑽研、探究新知的良好品質。

三、單元教學重難點

重點:應用“鴿巢原理”解決實際問題。引導學會把具體問題轉化成“鴿巢問題”。 難點:理解“鴿巢原理”,找出”鴿巢問題“解決的竅門進行反覆推理。

四、單元學情分析

“鴿巢原理”的變式很多,在生活中運用廣泛,學生在生活中常常遇到此類問題。教學時,要引導學生先判斷某個問題是否屬於“鴿巢原理”可以解決的範疇。能不能將

這個問題同“鴿巢原理”結合起來,是本次教學能否成功的關鍵。所以,在教學中,應有意識地讓學生理解“鴿巢原理”的“一般化模型”。六年級的學生理解能力、學習能力和生活經驗已達到能夠掌握本章內容的程度。教材選取的是學生熟悉的,易於理解的生活例項,將具體實際與數學原理結合起來,有助於提高學生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力。

五、教法和學法

1、讓學生經歷“數學證明”的過程。可以鼓勵、引導學生藉助學具、實物操作或畫草圖的方式進行“說理”。透過“說理”的方式理解“鴿巢原理”的過程是一種數學證明的雛形。透過這樣的方式,有助於提高學生的邏輯思維能力,為以後學習較嚴密的數學證明做準備。

2、有意識地培養學生的“模型”思想。當我們面對一個具體的問題時,能否將這個具體問題和“鴿巢原理”聯絡起來,能否找到該問題中的具體情境與“鴿巢原理”的“一般化模型”之間的內在關係,找出該問題中什麼是“待分的東西”,什麼是“鴿巢”,是解決問題的關鍵。教學時,要引導學生先判斷某個問題是否屬於用“鴿巢原理”可以解決的範疇;再思考如何尋找隱藏在其背後的“鴿巢問題”的一般模型。這個過程是學生經歷將具體問題“數學化”的過程,從紛繁複雜的現實素材中找出最本質的數學模型,是學生數學思維和能力的重要體現。

3、要適當把握教學要求。“鴿巢原理”本身或許並不複雜,但它的應用廣泛且靈活多變。因此,用“鴿巢原理”解決實際問題時,經常會遇到一些困難。例如,有時要找到實際問題與“鴿巢原理”之間的聯絡並不容易,即使找到了,也很難確定用什麼作為“鴿巢”,要用幾個“鴿巢”。因此,教學時,不必過於要求學生“說理”的嚴密性,只要能結合具體問題,把大致意思說出來就可以了,鼓勵學生藉助實物操作等直觀方式進行猜測、驗證。

六、單元課時劃分:本單元計劃課時數:6課時

鴿巢問題?1課時

“鴿巢問題”的具體應用?1課時

練習課??1課時

單元測評? 2課時

試卷講評? 1課時

第五單元數學廣角——鴿巢問題

第一課時

課題:鴿巢問題

教學內容:教材第68—70頁例1、例2,及“做一做”的第1題,及第71頁練習十三的1—2題。

教學目標:

1、知識與技能:瞭解“鴿巢問題”的特點,理解“鴿巢原理”的含義。使學生學會用此原理解決簡單的實際問題。

2、過程與方法:經歷探究“鴿巢原理”的學習過程,體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動的學習方法,滲透數形結合的思想。

3、情感、態度和價值觀:透過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題,激發學生的學習興趣,使學生感受數學的魅力。

教學重難點:

重點:引導學生把具體問題轉化成“鴿巢問題”。

難點:找出“鴿巢問題”解決的竅門進行反覆推理。

教學準備:課件。

教學過程:

一、情境匯入:

二、探究新知:

1。教學例1。(課件出示例題1情境圖)

思考問題:把4支鉛筆放進3個筆筒中,不管怎麼放,總有1個筆筒裡至少有2支鉛筆。為什麼呢?“總有”和“至少”是什麼意思?

學生透過操作發現規律→理解關鍵詞的含義→探究證明→認識“鴿巢問題”的學習過程來解決問題。

(1)操作發現規律:透過吧4支鉛筆放進3個筆筒中,可以發現:不管怎麼放,總有1鴿筆筒裡至少有2支鉛筆。

(2)理解關鍵詞的含義:“總有”和“至少”是指把4支鉛筆放進3個筆筒中,不管怎麼放,一定有1個筆筒裡的鉛筆數大於或等於2支。

(3)探究證明。

方法一:用“列舉法”證明。

方法二:用“分解法”證明。

把4分解成3個數。

由圖可知,把4分解成3個數,與列舉法相似,也有4中情況,每一種情況分得的3個數中,至少有1個數是不小於2的數。

方法三:用“假設法”證明。

透過以上幾種方法證明都可以發現:把4只鉛筆放進3個筆筒中,無論怎麼放,總有1個筆筒裡至少放進2只鉛筆。

(4)認識“鴿巢問題”

?像上面的問題就是“鴿巢問題”,也叫“抽屜問題”。在這裡,4支鉛筆是要分放的物體,就相當於4只“鴿子”,“3個筆筒”就相當於3個“鴿巢”或“抽屜”,把此問題用“鴿巢問題”的語言描述就是把4只鴿子放進3個籠子,總有1個籠子裡至少有2只鴿子。

這裡的“總有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;而“至少”指的是最少,即在所有方法中,放的鴿子最多的那個“籠子”裡鴿子“最少”的個數。

小結:只要放的鉛筆數比筆筒的數量多,就總有1個筆筒裡至少放進2支鉛筆。 ?如果放的鉛筆數比筆筒的數量多2,那麼總有1個筆筒至少放2支鉛筆;如果放的鉛筆比筆筒的數量多3,那麼總有1個筆筒裡至少放2只鉛筆……

小結:只要放的鉛筆數比筆筒的數量多,就總有1個筆筒裡至少放2支鉛筆。

(5)歸納總結:

鴿巢原理(一):如果把m個物體任意放進n個抽屜裡(m>n,且n是非零自然數),那麼一定有一個抽屜裡至少放進了放進了2個物體。

2、教學例2(課件出示例題2情境圖)

思考問題:(一)把7本書放進3個抽屜,不管怎麼放,總有1個抽屜裡至少有3本書。為什麼呢?(二)如果有8本書會怎樣呢?10本書呢?

學生透過“探究證明→得出結論”的學習過程來解決問題(一)。

(1)探究證明。

方法一:用數的分解法證明。

把7分解成3個數的和。把7本書放進3個抽屜裡,共有如下8種情況:

由圖可知,每種情況分得的3個數中,至少有1個數不小於3,也就是每種分法中最多那個數最小是3,即總有1個抽屜至少放進3本書。

方法二:用假設法證明。

把7本書平均分成3份,7÷3=2(本)。。。。。。1(本),若每個抽屜放2本,則還剩1本。如果把剩下的這1本書放進任意1個抽屜中,那麼這個抽屜裡就有3本書。

(2)得出結論。

透過以上兩種方法都可以發現:7本書放進3個抽屜中,不管怎麼放,總有1個抽屜裡至少放進3本書。

學生透過“假設分析法→歸納總結”的學習過程來解決問題(二)。

(1)用假設法分析。

?8÷3=2(本)。。。。。。2(本),剩下2本,分別放進其中2個抽屜中,使其中2個抽屜都變成3本,因此把8本書放進3個抽屜中,不管怎麼放,總有1個抽屜裡至少放進3本書。

?10÷3=3(本)。。。。。。1(本),把10本書放進3個抽屜中,不管怎麼放,總有1個抽屜裡至少放進4本書。

(2)歸納總結:

綜合上面兩種情況,要把a本書放進3個抽屜裡,如果a÷3=b(本)。。。。。。1(本)或a÷3=b(本)。。。。。。2(本),那麼一定有1個抽屜裡至少放進(b+1)本書。

鴿巢原理(二):古國把多與kn個的物體任意分別放進n個空抽屜(k是正整數,n是非0的自然數),那麼一定有一個抽屜中至少放進了(k+1)個物體。

三、鞏固練習

1、完成教材第70頁的“做一做”第1題。

學生獨立思考解答問題,集體交流、糾正。

2、完成教材第71頁練習十三的1—2題。

學生獨立思考解答問題,集體交流、糾正。

四、課堂總結

板書設計:

鴿巢問題

思考方法:

列舉法、分解法、假設法

鴿巢原理(一):如果把m個物體任意放進n個抽屜裡(m>n,且n是非零自然數)

鴿巢原理(二):古國把多與kn個的物體任意分別放進n個空抽屜(k是正整數,n是非0的自然數),那麼一定有一個抽屜中至少放進了(k+1)個物體。