關於《數學廣角──重疊問題》教學實錄與評析
教學內容：人教版三年級下冊第九單元P108例1
教學目標：
1、結合具體情境體會用“韋恩圖”解決重疊問題的價值，掌握用“韋恩圖”解決一些簡單的重疊問題題目的方法，培養學生的思維能力。
2、進一步滲透集合的思想，在解決實際問題的過程中感受選擇解決問題策略的重要性，養成善於思考的良好習慣，提高學習數學的興趣。
教學重難點：理解集合圖的各部分意義及解決簡單問題的計算方法。
教具、學具：課件、帶有學生姓名的小貼片。
教學過程：
一、問題情境，匯入新課
師：出示下面統計表
語文楊明李芳劉雲陳東王愛華張偉丁旭趙軍
數學李強楊紅張華王志明於力周曉陶偉盧強朱小東
師：朝陽小學三(1)班選出8人參加學校的語文活動小組，又選出9人參加數學活動小組。參加兩個小組的一共有多少人?
生：8+9=17人，
師：同意嗎?一定嗎?
生：齊說同意、一定。
師：出示圖1集合圈，
語文組 數學組
師：你能把參加語文組和數學組人的姓名圖片貼在下面兩個圈裡嗎?
師：相機出示帶有17個同學姓名的圖片。
【評析：尊重學生的認知基礎，喚醒學生已有的知識經驗，找準了學生已有的知識經驗與新知的銜接點，為新知的學習巧搭“腳手架”，也使問題的引出順理成章。】
二、探究新知
1、問題的引出
師：出示例題中的統計表
師：仔細觀察這張表格提供的資訊與前面的表格提供的資訊有什麼不同?
生：有幾個同學重複了。
生：有三個同學既參加參加了語文小組又參加了數學小組。
師：剛才這位同學說“重複”是什麼意思?
生：重複，就是一個人參加了兩項活動。
師：在實際生活中你們遇到過這種情況了嗎?
生：遇到過，比如我既參加了象棋小組又參加了繪畫小組。
生：我參加了三個興趣組。
師：如果還用兩個圈來表示參加語文組和數學組的人數你認為下面那幅圖能代表你們的意思?
生：圖2。因為圖2有重複的部分。
師：只能用圖2來表示來表示重複的關係嗎?
生：兩個長方形(正方形、三角形)交叉在一起也行。
師：誰來說說重複的部分是什麼意思?
生：重複部分就是兩項活動都參加人。
師：同意嗎?
生：同意。
師：參加語文組的有幾個人?參加數學組的呢?
生：語文組有8人，數學組有9人。
師：根據表中提供的資訊，你覺得用哪副圖來表示參加兩個小組人數之間的關係比較合適?請同學們貼一貼。
【評析：把學生探究“集合圖”的過程，變為教師直接給出兩幅“集合圖”，並讓學生結合自己的生活經驗，說說兩個集合圖所表示的實際意義，同時又拓展了學生對集合圖的認知，為建構抽象的數學模型搭建了平臺，也體現了基於學生認知基礎出發的教學理念。】
2、交流彙報
師：展示學生的作品並強調不管圓圈中學生姓名怎麼放，但這三個重複的同學都放在重疊的部分上。
師：怎樣計算參加兩個小組的人數一共有多少人?
生：一共是14人，我是數出來的。
生：8+9=17 17-3=14
師：第一個表格為什麼直接用8+9=17就算出參加兩個小組的人數，而這一次8+9後還要再減去3呢?
生：因為如果還是17的話就把楊明、李芳、劉雲多算了一次，因此要減去3。
生：第一個表格沒有重複參加的，第二個表格有重複參加的。
師：不管用數的方法還是用算式計算都要注意什麼?
生：不能把重複的三個人多算了一次。
【評析：在展示學生的作品時，對圓圈中學生的姓名位置不同的貼放，教師引導學生及時歸納、小結，這既能讓學生體會出集合圖本身各部分之間所存在的關係又能讓學生直觀地感知各個資料與集合圖之間的關係。同時讓學生反思、比較由前後兩個表格所出現的不同的計算方法，這既溝通了已有的知識經驗與新知間的聯絡，又彰顯出解決新問題的關鍵點。】
3、明確“韋恩圖”各部分表示的意思，感受其的價值。
師：剛才我們透過數一數，算一算的方法，得出了參加兩個小組的人數。現在誰來說說這個集合圖有幾部分組成?每部分各表示什麼意思?
生：三部分，左邊一小部分表示只參加語文組的人數，中間一部分表示兩個小組都參加的人數，右邊一小部分表示只參加數學組的人數。
師：相機在集合圖上標示出“只參加語文組”、“既參加語文組又參加數學組”、“只參加數學組”的字樣。
師：簡單介紹“韋恩圖”來歷。
師：在實際生活中，往往提供的資訊不會像表格中那樣的。
師：相機把例題呈現在統計表中的學生姓名打亂。
師：如果給的是現在這樣的資訊，你覺得“韋恩圖”和文字所提供給的資訊，哪一個更能清晰地表示出只參加“語文人的”、“只參加數學的”、“兩項都參加的”這三者中間的關係呢?
生：用“韋恩圖”來表示。
師：用“韋恩圖”不僅能清晰的表示出各部分之間的關係，還便於我們計算。
師：你認為在什麼樣情況下使用“韋恩圖”來解決問題呢?
生：有重複關係的，
師：相機板示課題:數學廣角——重疊問題。
【評析：讓學生表述“韋恩圖”各部分之間的關係，給了學生一個完整的認知，同時使學生對“韋恩圖”中的認知更趨於明朗化。而把例題中提供的資訊打亂，讓學生在反思中比較，就為學生體會“韋恩圖”的價值提供了更具有說服力的素材。】
三、鞏固應用，落實“雙基”
1、教材p110練習二十四第1題
2、教材P110練習二十四第2題
四、拓展延伸，發展能力
師：改動教材例題中提供的資訊方式為：三(1)班由8人參加語文活動小組，有9人參加數學活動小組，參加兩個小組的一共有多少人?
師：請同學讀題，並與原例題進行比較
師：請同學拿出第二組供貼圖用的學具片
師：結合生活實際，展開想象，在教師提供的集合圈中擺一擺，之後再在小組裡交流一下，並算出每一種情況下，參加兩個小組的人數共多少人?
交流回報：
生：8+9=17人，我是把兩個圓圈分開擺的
生：8+9=17人 17-2=15，我是把兩個圓圈交叉在一起的，並且交叉的部分是2人。
生：參加兩個小組的一共只有9人，我是把參加語文組的人數全部圈在數學組裡面的。
師：結合學生的口述，相機展示學生的作品
師：重點引導學生交流結果是9人的集合圖各部分之間的關係。
師：為什麼同樣是8人參加語文組、9人參加數學組結果會出現不同的情況呢?
生：因為上一道題告訴我們有幾人重複的，而這道題沒有告訴有幾人重複的，結果就有幾種可能性。
生：這個題目沒有前面兩個題目講的清楚，不知道會有什麼情況。
師：也就是說這道題沒有確定語文組和數學組之間的具體關係。
師：那你認為做這樣的題目首先要注意什麼?
生：搞清重複的人數。
生：在畫圖時要確定相交的部分應該是幾人。
生：考慮問題要全面些。
師：透過剛才我們解決的這個題目，比較一下結果，你有什麼發現?
生：重複的`部分越多，參加兩項活動的人數就越少。
生：要想參加兩項活動的人數多最好互不交叉。
生：當參加兩項活動的人數最少時，這個數就是其中一個較大的數。
師：配合學生的講解，相機用課件動態演示兩個集合圖變化的過程。
【評析：此時改動了例題呈現方式和條件，是順其自然之舉，也是應學生認知發展的需求，這既給學生提供了自主探究的空間，同時學生在解決這一開放性題目的過程中，既進一步鞏固、完善對“韋恩圖”的認知，又培養了學生的思維能力。】
五、全課總結
師生交流：這節課我們解決了什麼問題?在解決這一問題的過程中用到了什麼策
略?這一策略以前你用過嗎?
總評：
本節課的設計新穎，能從學生的認知經驗出發，來恰當的確定教學目標。為了便於教學目標有效的落實，本節課從問題的引入到問題的拓展都緊緊圍繞例題所提供的素材來合理的進行問題的設計，問題的設計才層層遞進，一環扣一環，學生在解決問題的過程中既讓學生感受到用集合圖來解決問題的價值，又能讓學生掌握使用集合圖解決重疊問題的方法。由於本節課弱化了讓學生探究、經歷“韋恩圖”產生的過程的環節，就給學生留足了時間，來讓學生交流、反思，體驗“韋恩圖”的價值和拓展對“韋恩圖”的認知，尤其是最後的鞏固、拓展題的呈現，結合了學生的實際，順其自然，把學生思維的觸角引向深入。本節課充分的落實了簡單的設計，深刻的引領的教學理念。具體說有一下特點：
1、在問題的解決過程中，注重圖、算式、文的有效結合。
本節課的設計意在充分發揮集合圖的作用，但同時加強學生對文字資訊的理解。透過讓學生貼一貼，說一說，想一想等方式讓學生在頭腦中建立韋恩圖的表象，從而真正達到圖、文，算式的有效結合。如幾次透過變化例題中的資訊，既溝通了學生已有的知識經驗間的聯絡，又讓學生體會到、算式之間的聯絡，為建立數學模型搭建了很好的平臺。
2、在瞭解、尊重學生已有的知識經驗的基礎上來確定合理的教學目標。
本節課該教師把讓學生經歷“韋恩圖”產生的過程，調整為：喚醒學生已有的生活經驗，溝通已有知識經驗間聯絡，來讓學生感知“韋恩圖”價值、作用以及運用“韋恩圖”來解決實際問題能力，這是基於該教師深入理解教材、瞭解學生基礎上的。首先，學生在一到三年級都沒有接觸過讓學生經歷用畫圖的方法來解決問題的教學內容。如線段圖、表格等，學生較多接觸的都是一些實物圖片，在學習新知時自然也不會想到用兩個抽象的集合圈來表示兩個資料之間的關係的，而更多的是用文字或創造一些文字加圖的形式來表示，其次，學生在一二年級積累的經驗往往都是計算和數數，更何況問題情景中是讓學生“算”人數的，學生自然要用到以前的計算方法了，同時學生在這之前也初步接觸過一些統計表，而統計表所用到的資料也都是各自獨立的互不包含的，直接用加減法就能解決的。而今天要用加減法解決兩個量中出現互相包含關係的題時，自然有一定的難度了。最後，學生在三年級也不具備用畫圖法解決問題的能力，面對新的問題，學生是很難呼叫已有的經驗來整合這一問題的，根據皮亞傑的“順應”和“同化”教學理論，解決這一問題，應更多的體現“順應”的教學方法。因而，沒有讓學生經歷、探究“韋恩圖”過程，是有道理的。
3、注重學生的反思和經驗提升，讓新知的學習有根。
數學經驗需要積累更需要提升。史寧中校長說：“創新能力來自於知識積累，經驗積累和思維訓練 ，經驗不經過提升、內化、概括難以成為學習的內在支撐”。本節課，該教師多次提供讓學生圍繞問題進行反思和經驗的提升的過程。如：
“第一個表格為什麼直接用8+9=17就算出參加兩個小組的人數，而這一次8+9後還要再減去3呢”? “你覺得用集合圈表示這樣的兩種資料之間的關係有什麼好處”? “那你認為做這樣的題目首先要注意什麼”?
總之，朱老師這節課，溯本求源，找準了學生的認知起點和困惑點，尋找出符合學生學習的有效的教學途徑。在匯入環節尋找出新知生長的結點，既喚醒學生已有的知識經驗，又讓學生感知新知的生長點就在此而生。在探究環節，讓已有的知識經驗成為學習新知的助力器。課前需要知學、然後再知教。怎樣去知學?又怎樣去知教?是需要課前花足時間去思考的事情。知道了要學什麼，怎樣去學，方知該怎樣去教!