高一數學必修一知識點總結範例
一、集合有關概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性,
(2) 元素的互異性,
(3) 元素的無序性,
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。
? 注意：常用數集及其記法：
非負整數集(即自然數集) 記作：N
正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R
1) 列舉法：{a,b,c……}
2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4) Venn圖:
4、集合的分類：
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝
二、集合間的基本關係
1.“包含”關係—子集
注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2.“相等”關係：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)
例項：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即：① 任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)
③如果 A?B, B?C ,那麼 A?C
④ 如果A?B 同時 B?A 那麼A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
運算型別 交 集 並 集 補 集
定 義 由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.
由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的並集.記作：A B(讀作‘A並B’)，即A B ={x|x A，或x B}).
設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬於A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或餘集)
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二、函式的有關概念
1.函式的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函式.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變數，x的取值範圍A叫做函式的定義域;與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合{f(x)| x∈A }叫做函式的值域.
注意：
1.定義域：能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域。
求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零;
(2)偶次方根的被開方數不小於零;
(3)對數式的真數必須大於零;
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函式是由一些基本函式透過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的.x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等於零，
(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
相同函式的判斷方法：①表示式相同(與表示自變數和函式值的字母無關);②定義域一致 (兩點必須同時具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函式圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點P(x，y)的集合C，叫做函式 y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在C上 .
(2) 畫法
A、 描點法：
B、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4.區間的概念
(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
(2)無窮區間
(3)區間的數軸表示.
5.對映
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個對映。記作f：A→B
6.分段函式
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。
(2)各部分的自變數的取值情況.
(3)分段函式的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集.
補充：複合函式
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的複合函式。
二.函式的性質
1.函式的單調性(區域性性質)
(1)增函式
設函式y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1，x2，當x1
如果對於區間D上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函式.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意：函式的單調性是函式的區域性性質;
(2) 圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
(3).函式單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1
○2 作差f(x1)-f(x2);
○3 變形(通常是因式分解和配方);
○4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);
○5 下結論(指出函式f(x)在給定的區間D上的單調性).
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)複合函式的單調性
複合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”
注意：函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
8.函式的奇偶性(整體性質)
(1)偶函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函式.
(2).奇函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函式.
(3)具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱;奇函式的圖象關於原點對稱.
利用定義判斷函式奇偶性的步驟：
○1首先確定函式的定義域，並判斷其是否關於原點對稱;
○2確定f(-x)與f(x)的關係;
○3作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函式;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函式.
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;
(3)利用定理，或藉助函式的圖象判定 .
9、函式的解析表示式
(1).函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
(2)求函式的解析式的主要方法有：
1) 湊配法
2) 待定係數法
3) 換元法
4) 消參法
10.函式最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函式的性質(配方法)求函式的最大(小)值
○2 利用圖象求函式的最大(小)值
○3 利用函式單調性的判斷函式的最大(小)值：
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b);