對VaR方法在證券基金的研究論文
一、對正態性假設的檢驗
VaR(Value-at-Risk:風險價值)是指在一定的置信度下,在一定的持有期內的最大可能損失。VaR有相對和絕對之分,絕對VaR是指相對於當前頭寸的最大可能損失,相對VaR是指相對於未來收益期望值的最大可能損失,不難發現,在未來收益零均值的假設條件下,絕對VaR與相對VaR是相等的。計算VaR值的方法有方差—協方差方法、歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法,其中方差—協方差方法以其簡潔性、準確性而更多地被採用,J.P.Morgan集團推出的名為RiskMetrics的方法和資料為運用方差—協方差方法計算VaR提供了極大的便利,但是這種方法通常假設幾何收益率服從獨立異方差的正態分佈,即:rt=㏑Pt-㏑Pt-1~N(0,σt2)(1)其中rt為幾何收益率,即對數價格變化,它與算術收益率Rt=(Pt-Pt-1)/Pt-1的關係為rt=㏑(Pt/Pt-1)=㏑(Rt+1),用Taylor級數展開,取一階近似,可得rt≈Rt,但幾何收益率具有比算術收益率更好的性質,所以此處常用幾何收益率表示;Pt為t期價格,隨著時間改變而波動;0表示的是收益率的零均值假設,顯然此時絕對VaR等於相對VaR;σt為收益率的標準差,這裡考慮了標準差的時變性。這個公式反映的就是收益率的正態性假設。在對很多金融工具的收益情況進行分析時,發現這種正態性假設存在偏誤,因為大多數金融資產收益的實際分佈相對於正態分佈而言具有厚尾的特徵,這裡就將對中國私募證券基金收益率進行正態性檢驗。此處正態性檢驗中價格的波動使用的是融智·中國對沖基金指數的變動,並據此計算收益率,採用2007年1月至2012年6月的月度統計資料,共66個收益率資料,其時變標準差採用週期為12個月的收益率進行估算,即:σt=,(2)也就是用過去12個月的資料估計未來一期的標準差,從而可以消除月份、季節等變化的影響,這樣可以計算出2008年1月至2012年6月共54個月的標準差數值。以這些資料為基礎,以下將進行三個方面的檢驗,分別為VaR與實際損益的對比檢驗、正態分佈的假設檢驗以及偏度和峰度檢驗。
(一)VaR與實際損益的對比檢驗
假設資產頭寸為1,則VaR值表示的是最大可能損失佔總資產的比重,而收益率表示的是實際損益佔總資產的比重,所以此處就將這兩個比例進行比較,以檢驗基於正態性假設的VaR值對風險的估計精確度,這裡與收益率對比的VaR為絕對VaR。根據VaR的定義,對於給定的置信水平(1-c),有:P(rt<-VaR)=c,(3)經標準化變換,則:(4)由於:(5)可解得:(6)其中為標準正態分佈的下c分位數。根據已有資料,可以計算出2008年1月至2012年6月共54個月的VaR值。下表列出了4個不同置信度下的VaR值與實際損失的對比情況:從表1中不難發現,在各個置信度下實際損失超過VaR的比例都大於理論損失超過VaR的比例,這意味著存在風險低估的問題。整體來說,實際損失超過VaR的平均比例為6.02%(=(7+3+2+1)/(54×4)),大於理論上的平均超過比例4.63%(=(10+5+2.5+1)/(4×100)),可知基於正態假設的VaR對整體風險也是低估的。這說明收益的實際分佈與正態分佈相比具有厚尾性。
(二)正態分佈的假設檢驗
透過以上的對比檢驗可知,正態性假設並沒有完全扭曲收益率的現實分佈,只是存在一定程度上的誤差,正態性假設在中國私募證券基金收益率分佈上的合理性如何,下面將分別對正態分佈以及其均值和方差進行假設檢驗。為了便於檢驗,首先對收益率資料按其均值和對應標準差實行標準化變換,如上式(5)所示,則原檢驗問題轉變為標準化收益率服從標準正態分佈的檢驗問題,受假設檢驗資料限制,選取2008年5月至2012年6月共50個標準化收益率資料,選擇顯著性水平=0.05,則對其正態性、均值和方差三方面的`假設檢驗結果如下透過表2可知中國私募證券基金收益率的正態性假設具有一定的合理性,並且其時變方差的假設也較合理,但不能據此認為其收益率一定服從正態分佈,只能說實際分佈與正態分佈相似度較高或者偏差不大,下面將用偏度檢驗與峰度檢驗來具體考察它與正態分佈的偏差。
(三)偏度檢驗與峰度檢驗
偏度檢驗與峰度檢驗是兩種重要的非正態性檢驗,並且偏度係數和峰度係數的正負和大小可以說明實際分佈偏離正態分佈的位置和程度。以下還將使用2008年5月至2012年6月的50個標準化收益率資料進行檢驗。先進行偏度檢驗,取顯著性水平=0.05,則根據臨界值可知,正態分佈的拒絕域為:{SK:0.53},經計算可得偏度係數SK=-0.371,在拒絕域之外,因此不能拒絕正態性假設,再用標準誤對其進行考察,偏度係數標準誤,偏度係數落在2倍標準誤之內,即(-0.692,0.692),說明標準化收益率具有較好的對稱性。接下來進行峰度檢驗,但是峰度檢驗只宜用於樣本資料n≥1000的情形,所以這裡只用標準誤對其進行考察,峰度係數標準誤,峰度係數K=-0.336,落在2倍標準誤之內,即(-1.386,1.386),滿足了正態性標準,但是K<0,說明實際分佈相對於正態分佈更為扁平。經過偏度檢驗和峰度檢驗,仍舊無法拒絕正態性假設,再次證明了正態性假設具有其合理性,但是透過峰度係數的符號可知,標準化後的收益率具有比正態分佈扁平的特徵。綜合以上三方面的檢驗可知,中國私募證券基金收益率基本滿足方差時變的正態分佈,但也發現實際分佈相對於正態分佈具有扁平、厚尾的特徵,從而導致使用正態性假設會對風險有所低估,因此需要採用更合理的分佈假設對其進行模擬。t分佈正好滿足了與標準正態分佈相似且具有扁平、厚尾等特徵,如圖1所示,所以以下將嘗試用t分佈假設來修正正態分佈假設,並求出中國私募證券基金收益率經標準化後所服從t分佈的自由度。
二、t分佈假設
現在假設經標準化後的收益率服從t分佈,而非標準正態分佈,即:各符號表示的含義與前面相同,其中n為t分佈的自由度,是一個待定引數,確定n的原則是使t分佈假設儘可能準確地估計中國私募證券基金的風險值。基於t分佈假設的VaR值計算方法也與前面類似,只是以(7)式代替(5)式,最後解得:其中為t(n)分佈的下c分位數。以下將使用中國私募證券基金2008年1月至2012年6月共54個標準化收益率資料求解t分佈的自由度,並分析用t分佈假設修正正態性假設的合理性。首先,t分佈假設要對不同置信度下VaR值的總體估計準確,則在90%、95%、97.5%和99%的置信度下實際損失超過VaR的平均比例應等於其理論比例,即4.63%,可得4個不同置信度下實際損失超過VaR的總月數為10(=54×4×4.63%),如果假設對應於90%、95%、97.5%和99%置信度分別有n1個月、n2個月、n3個月和n4個月超過,則有:n1+n2+n3+n4=10,(9)其中n1、n2、n3、n4均為非負整數。其次,還要保證不同置信度下的VaR值分別估計儘可能準確,既不高估,也不低估,即要求的值都儘可能最小,由於n1、n2、n3、n4之間有(9)式的制約關係,所以可以建構函式:,(10)則要求Q的值儘量小。聯立(9)、(10)解出使Q儘量小的前6組解如下表:理論上是Q的值越小越好,但在現實中不一定能實現,因為n1、n2、n3、n4對應的是90%、95%、97.5%和99%置信度下實際損失超過VaR的月數,不一定存在自由度n使4個置信度下實際超過的個數與某一組解完全吻合,例如解①,根據t分佈假設下VaR的計算可知,使n1=5、n2=3、n3=1、n4=1的自由度n取值範圍分別是[6,11]、[17,45]、[7,14]和[1,45]2,它們的交集為空,所以第1組解沒有與之對應的n值。運用同樣的方法,可得前5組解均沒有n值,第6組解在n=15或16時成立,從而這是使Q儘量小的最優解。由上述討論可知,自由度為15或16的t分佈能最優擬閤中國私募證券基金標準化收益率的分佈特點,並且它優於正態分佈,一是因為它對不同置信度下整體風險的估計更精確,實際損失超過VaR的平均比例為4.63%(=(6+2+2+0)/(54×4)),與理論值相等,二是因為它在各個置信度下的分別風險估計也更準確,Q=0.000536,相對於正態性假設下Q=0.001126要小得多,因此在中國私募證券基金VaR值的計算中收益率的t分佈假設比正態性假設更合理。
三、結論
以上運用融智·中國對沖基金指數分析了VaR方法在中國私募證券基金風險管理中的應用及其侷限性,著重對收益率的正態性假設進行了探討,發現自由度為15或16的t分佈能比正態分佈更好地模擬中國私募證券基金收益率的分佈特點,這與Jorion在其著作《風險價值VaR》中提到的典型金融工具t分佈自由度為6的假設有所不同,這可能與中國私募證券基金獨特的運作方式與發展環境有關。