圓的面積課堂實錄
從心理學角度看，猜想是一項思維活動，是學生有方向的猜測和判斷，包含了理性的思考和直覺的判斷；從學生的學習過程來看，猜想應是學生有效學習的良好準備，它包含了學生從事新的學習或實踐的知識準備、積極動機和良好情感。一說起猜想，人們馬上就會聯想到著名的歌德巴赫猜想。學生的學習過程，並非要出現像歌德巴赫猜想那樣的著名推斷，但應具有知識的再發現和再創造過程。培養學生的猜想意識，引導學生進行積極的猜想，正是培養學生進行知識再發現和再創造的良好開端。
教學片段一
在學習完圓的面積後，教師讓學生做這樣一道題：有兩塊大小一樣的正方形鋼板，其中一塊衝出4塊大小一樣的圓形鋼片（如圖1甲），另一塊衝出9塊大小一樣的圓形鋼片（如圖1乙）。問哪一塊鋼板所剩下的腳料多？立刻有學生大膽猜想：
生：圖1（甲）所剩下的腳料多一些，因為圖1（甲）看起來空隙大。
生：圖1（乙）剩下的腳料多一些，因為圖1（乙）的空隙多。
可見學生這時的猜想是盲目的`。教師對這些猜想沒有簡單地否定，而是讓學生解決一個簡單的問題（如圖2），求正方形內切圓的面積佔該正方形面積的百分之幾？計算後得出，正方形內切圓的面積佔該正方形面積的78.5％。這時再讓學生猜想。
生c：所剩下的腳料一樣多。
師：為什麼？
有一個學生將圖1中的（甲）、（乙）兩圖添作輔助線，如圖3所示。他說：正方形1/4的78.5％再乘以4和正方形1/9的78.5％再乘以9其結果是一樣的。雖然表述不是很完整、到位，但能提出這樣新的假設，充分體現了學生的創造潛能。最後透過計算驗證，使學生享受到猜想的成功。
教學片段二
在一次課上做練習時，有一個平時就很愛動腦筋的學生突然說：老師，我有一個奇怪的發現，我量了量桌子的長和寬，發現長是寬的1.6倍多一點，又量了量數學課本的長也是寬的1.6倍多一點，再量作業本結果也是一樣的。我想，這裡一定有數學問題。
一石激起千層浪，別的學生也動手量起來，不一會兒，有的學生說：對，是這樣。有的學生反對：這是偶然，鉛筆盒、黑板就不是這樣。
一會兒，教室裡的爭論聲小了下來，學生的眼睛齊刷刷地望著老師。老師首先對那位學生說：你善於觀察，又勤于思考，很了不起。接著，老師說：想想生活中還有哪些長方形和你們的課桌比例差不多？學生舉出了生活中的許多例子。
師：就拿電視螢幕為例吧，如果它很扁或很方，會有什麼感覺？
生：很有創意。
生：好像不太方便，看起來有點怪，影象也就變形了。
生：我知道了，按照一定的比例比較美觀。
生：他說得對，可鉛筆盒只要能放進鉛筆就行了，太寬反而不美觀、不實用了，我覺得先要實用，才能美觀。
師：大家都很棒，我來給大家提供一個線索黃金分割，我們查查資料，好嗎？
幾天後，一張張資料卡放在教師手中。透過這次經歷，學生享受到了猜想的成功，也進一步感受到了數學王國的瑰麗。
評析
數學方法理論的倡導者G波利亞曾說過，在數學領域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負責任的態度。他認為，在有些情況下，教猜想比教證明更為重要。我們認為，猜想可分為三個層次：
一、質疑猜想的開始。
讓每個學生在已有的知識經驗、能力水平和學習方法的基礎上提出問題，並進行積極的猜想，這有助於提高學生的學習興趣，活躍思維，促進智力的發展與提高。
二、假設猜想的深入。
問題提出後，學生經過反覆思考、聯想、頓悟，結合已有的知識和生活經驗提出自己的假設。假設，從思維角度講，就是一種猜想。這樣的思維過程，是充分發揮學生創新能力和主體意識的過程。
三、實踐猜想的驗證。
只有猜想沒有行動，那隻能是空想。把猜想與探索實踐緊密結合，可以產生猜想的良性迴圈。
不同的學生會有不同的猜想，但都是學生的主動思維的過程，都包含著創新因素。猜想是一項思維活動，包含了理性的思考和直覺的判斷。因此學生的猜想可能是經過反覆思考的，符合邏輯的，但更可能是稚嫩無據的異想天開。不管是哪一種情況，教師都應給予鼓勵，精心保護學生積極猜想的精神，並引導他們享受猜想的成功體驗，更好地發揮他們的創造力。