高一數學平面直角座標系中的基本公式知識點總結
一、平面解析幾何的基本思想和主要問題
平面解析幾何是用代數的方法研究幾何問題的一門數學學科,其基本思想就是用代數的方法研究幾何問題。例如,用直線的方程可以研究直線的性質,用兩條直線的方程可以研究這兩條直線的位置關係等。
平面解析幾何研究的問題主要有兩類:一是根據已知條件,求出表示平面曲線的方程;二是透過方程,研究平面曲線的性質。
二、直線座標系和直角座標系
直線座標系,也就是數軸,它有三個要素:原點、度量單位和方向。如果讓一個實數與數軸上座標為的點對應,那麼就可以在實數集與數軸上的點集之間建立一一對應關係。
點與實數對應,則稱點的座標為,記作,如點座標為,則記作;點座標為,則記為。
直角座標系是由兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成,兩條數軸的度量單位一般相同,但有時也可以不同,兩個數軸的交點是直角座標系的原點。在平面直角座標系中,有序實數對構成的集合與座標平面內的點集具有一一對應關係。
一個點的座標是這樣求得的,由點向軸及軸作垂線,在兩座標軸上形成正投影,在軸上的正投影所對應的值為點的橫座標,在軸上的正投影所對應的值為點的縱座標。
在學習這兩種座標系時,要注意用類比的方法。例如,平面直角座標系是二維座標系,它有兩個座標軸,每個點的座標需用兩個實數(即一對有序實數)來表示,而直線座標系是一維座標系,它只有一個座標軸,每個點的座標只需用一個實數來表示。
三、向量的有關概念和公式
如果數軸上的任意一點沿著軸的正向或負向移動到另一個點,則說點在軸上作了一次位移。位移是一個既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,簡稱向量,記作。如果點移動的方向與數軸的正方向相同,則向量為正,否則為負。線段的長叫做向量的長度,記作。向量的長度連同表示其方向的正負號叫做向量的座標(或數量),用表示。這裡同學們要分清,,三個符號的含義。
對於數軸上任意三點,都有成立。該等式左邊表示在數軸上點向點作一次位移,等式右邊表示點先向點作一次位移,再由點向點作一次位移,它們的最終結果是相同的。
向量的座標公式(或數量公式),它表示向量的.數量等於終點的座標減去起點的座標,這個公式非常重要。
有相等座標的兩個向量相等,看做同一個向量;反之,兩個相等向量座標必相等。
注意:①相等的所有向量看做一個整體,作為同一向量,都等於以原點為起點,座標與這所有向量相等的那個向量。②向量與數軸上的實數(或點)是一一對應的,零向量即原點。
四、兩點的距離公式和中點公式
1。對於數軸上的兩點,設它們的座標分別為,,則的距離為,的中點的座標為。
由於表示數軸上兩點與的距離,所以在解一些簡單的含絕對值的方程或不等式時,常藉助於數形結合思想,將問題轉化為數軸上的距離問題加以解決。例如,解方程時,可以將問題看作在數軸上求一點,使它到,的距離之和等於。
2。對於直角座標系中的兩點,設它們的座標分別為,,則兩點的距離為,的中點的座標滿足。
兩點的距離公式和中點公式是解析幾何中最基本、最常用的公式之一,要求同學們能熟練掌握並能靈活運用。
五、座標法
座標法是數學中一種重要的數學思想方法,它是藉助於座標系來研究幾何圖形的一種方法,是數形結合的典範。這種方法是在平面上建立直角座標系,用座標表示點,把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡,用曲線上點的座標所滿足的方程表示曲線,透過研究方程,間接地來研究曲線的性質。