函式的奇偶性與週期性複習試題
10.設f(x)是定義在R上的奇函式，且對任意實數x，恆有f(x+2)=-f(x)，當x∈時，f(x)=2x-x2.
(1)求證：f(x)是週期函式;
(2)當x∈時，求f(x)的解析式;
(3)計算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016).
(1)證明∵f(x+2)=-f(x)，
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是週期為4的週期函式.
(2)解∵x∈，∴-x∈，
∴4-x∈，
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8，
又f(4-x)=f(-x)=-f(x)，
∴-f(x)=-x2+6x-8，
即f(x)=x2-6x+8，x∈.
(3)解∵f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=-1.
又f(x)是週期為4的`週期函式，
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=f(2016)
=f(0)=0.
15.函式f(x)的定義域為D={x|x≠0}，且滿足對於任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性並證明你的結論;
(3)如果f(4)=1，f(x-1)<2，且f(x)在(0，+∞)上是增函式，求x的取值範圍.
解(1)∵對於任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，
∴令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.
(2)f(x)為偶函式.
證明：令x1=x2=-1，有f(1)=f(-1)+f (-1)，
∴f(-1)=2(1)f(1)=0.
令x1=-1，x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x)，
∴f(-x)=f(x)，
∴f(x)為偶函式.
(3)依題設有f(4×4)=f(4)+f(4)=2，
由(2)知，f(x)是偶函式，
∴f(x-1)<2?f(|x-1|)
又f(x)在(0，+∞)上是增函式.
∴0<|x-1|<16，
解之得-15
∴x的取值範圍是{x|-15