方差分析和正交試驗設計
第6章 方差分析和正交試驗設計
§6.1 單因子方差分析
在實際問題中，某個指標的取值，往往可能與多個因素有關。例如，農作物的產量，可能與作物的品種有關，可能與施肥量有關，可能與土壤有關，等等。又例如，化工產品的收得率，可能與原料配方有關，可能與催化劑的用量有關，可能與反應溫度有關，還可能與反應容器中的壓力有關，等等。
由於因素很多，自然就會產生這樣的問題：這些因素，對於指標的取值，是否都有顯著的作用？如果不是所有的因素都有顯著的作用，那麼，哪些因素的作用顯著？哪些因素的作用不顯著？還有，這些因素的作用，是簡單地疊加在一起的呢，還是以更復雜的形式交錯在一起的？
以上這些問題，都需要我們從試驗資料出發，來加以判斷、分析，做出結論。方差分析（Analysis of Variance，簡稱ANOVA）就是一種能夠解決這類問題的有效的統計方法。
在方差分析中，將可能與某個指標的取值有關的因素，稱為因子（Factor），通常用 A,B,? 來表示。因子所取的各種不同的狀態，稱為水平（Level），用 A1,A2,?，B1,B2,? 來表示。
如果問題中只考慮一個因子，這樣的方差分析稱為單因子方差分析。如果問題中要考慮兩個因子，這樣的方差分析就稱為雙因子方差分析。當然，還可以有三因子、四因子、更多因子的方差分析。
我們先來看單因子方差分析。
問題 設某個指標的取值可能與一個因子 A 有關，因子 A 有 r 個水平：A1,A2,?,Ar。在這 r 個水平下的指標值，可以看作是 r個相互獨立、方差相等的正態總體
?i～N(?i,?2)，i?1,2,?,r 。
在每一個水平 Ai 下，對指標作 t （t?1）次重複觀測，設觀測結果為
Xi1,Xi2,?,Xit ，
它們可以看作是總體 ?i 的樣本。即有
問：因子 A 對指標的作用是否顯著？
１３７
檢驗方法
檢驗因子 A 的作用是否顯著，相當於要檢驗這樣一個假設
H0：?1??2?r 。
為了作檢驗，先給出一批定義。稱
n?rt 為總觀測次數 ，
1t
i??Xij 為水平Ai的均值 ， tj?1
SSi??(Xij?i)2 為水平Ai的平方和 ，
j?1t
1rt1r
Xij??i 為總均值 ， ni?1j?1ri?1
SST(Xij?)2 為總平方和 ，
i?1j?1rt
SSe(Xij?i)??SSi 為誤差平方和 ， 2
i?1j?1i?1rtr
SSA?t?(i?)2 為因子A的平方和 。
i?1r
這些統計量之間的相互關係，可以用下列圖表的形式表示出來：
水平 觀測值 Ai 的平方和 Ai 的均值
1?
r?? 總均值 A1? Ar
X11?X1t←─SS1─→ ?? ? ←─SSr─→ X1?Xrt?r←────→ │←── 誤差平方和SSe──→│←─A的平方和SSA──→│ │←───────── 總平方和SST─────────→│
t
SSi??(Xij?i)2 反映了在各水平 Ai 的內部指標取值的差異程度，這種差異
j?1
完全是由於誤差引起的，而 SSe 是所有這樣的. SSi 的總和，所以稱為誤差平方和。
SSA?t?(i?)2 反映了各水平之間指標取值的差異程度，如果因子A 的作用i?1r
不顯著，各水平之間差異很小，1,2,?,r近似相等，與X差異很小，SSA 的值也比 １３８
較小，如果因子A 的作用顯著，各水平之間差異很大，1,2,?,r與X的差異也很大，
所以稱為因子A 的平方和。 SSA 的值就會偏大。SSA 的大小反映了因子 A 的作用大小，
總平方和 SST 、誤差平方和 SSe 、因子A 的平方和 SSA 之間，有下列平方和分解關係：
SST?SSe?SSA 。
這是因為
SST(Xij?)2 i?1j?1
rtrt
(X
i?1j?1
rtij?i?i?)2 ?i)?2??(Xij?i)(i?)(i?)2 2
i?1j?1i?1j?1
trtrt (Xi?1j?1ij
?SSe?2?(?X
i?1j?1rij?ti)(i?)?t?(i?)2 i?1r
?SSe?0?SSA?SSe?SSA 。
由 SSA 、SSe 可以算出統計量 MSA?SSA(r?1) 和 MSe?SSe(n?r) 。MSA 稱為因子A 的均方，MSe 稱為誤差均方。由 MSA 、MSe 可以算出統計量
FA?MSASSA(r?1) 。 ?MSeSSe(n?r)
下面證明一個關於 FA 的分佈的定理。
定理 6.1 若 H0：?1??2?r 為真，則有
FA?MSASSA(r?1)～F(r?1,n?r) 。 ?MSeSSe(n?r)
2 證 設?1??2?r??，這時有 ?i～N(?,?)，i?1,2,?,r 。
因為 Xi1,Xi2,?,Xit 是 ?i的樣本，所以 Xij～N(?,?)2Xij??
?～N(0,1)，
i?1,2,?,r，j?1,2,?,t，相互獨立。 １３９
Q?
r
t
?Xiji?1j?1??
r
t
2
??(X
i?1j?1
rt
ij
?)2
?
2
??(X
?
i?1j?1
ij2
?)
2
2??(Xij?)(??)?
i?1j?1
rt
??(??)
?
i?1j?1
rt
2
??
SST
?0?
2
?
2
?
SSA
SSe
n(??)2
?2?2
2
?
?
2
?
?2
?
n?Q1?Q2?Q3 。
??
其中，Q1?
r
SSA
?
r
2
?
t?(i?)2
i?1
r
?2
是r項的平方和，但這r項又滿足1個線性關係式：
?(i?1
i
?)??i?r?0，所以，Q1的自由度 f1?r?1。
i?1
Q2?
SSe
??(X
?
i?1j?1
rt
ij
?i)2
是 n?rt 項的平方和，但這 n 項又滿足 r個線性
t
?
2
?2
ij
關係式：
?(X
j?1
t
?i)??Xij?ti?0，i?1,2,?,r，所以，Q2的自由度
j?1
f2?n?r。
?
?nQ3是1項的平方和，所以，Q3的自由度 f3?1。
??
因為 f1?f2?f3?(r?1)?(n?r)?1?n，所以由定理2.7（Cochran 定理）可知：
2
Q1?
SSA
?
2
2
～?(r?1)，Q2?
SSe
?2
?22
?n～?(n?r)，Q3～?(1)，
??
2
2
而且Q1?
SSA
?
2
，Q2?
SSe
?2
?
?n，Q3相互獨立。
??
因此，由F分佈的定義可知
１４０
2SSA(r?1)FA??
SSe(n?r)SSe
SSA
r?1)
～F(r?1,n?r) 。
?
2
n?r)
由定理6.1可知，若H0：?1??2?r 為真，則FA～F(r?1,n?r) ； 若 H0：?1??2?r 不真，則SSA的值會偏大，FA的值也會偏大，統計量FA 的分佈，相對於 F(r?1,n?r) 分佈來說，峰值的位置會有一個向右的偏移。
因此，可得到檢驗方法如下：
從樣本求出 FA 的值。對於給定的顯著水平?，自由度(r?1,n?r)，查F分佈的分位數表,可得分位數F1??(r?1,n?r)，使得 P{FA?F1??(r?1,n?r)}?? ，當
FA?F1??(r?1,n?r) 時，拒絕H0：?1??2?r ，這時，可以認為因子 A 的
作用顯著，否則，接受 H0：?1??2?r，這時，可以認為因子 A 的作用不顯著 。 單因子方差分析的計算步驟
方差分析的計算比較複雜，用帶統計功能的計算器計算時，最好按照下列步驟進行，並把計算結果填寫在下列形式的表格中：
t
1t
（1）從Xi1,Xi2,?,Xiti求出 i??Xij 和 SSi??(Xij?i)2,i?1,2,?,r 。
tj?1j?1
t
1t
把Xi1,Xi2,?,Xiti看作樣本，i??Xij 就是樣本均值，SSi??(Xij?i)2
tj?1j?1
1t2
就是樣本方差 S??(Xij?i) 再乘以樣本觀測次數 t （或修正樣本方差
tj?1
2
1t
。所以，在計算器上計算時，只要像計算樣本統S*?(Xij?i)2再乘以t?1）?t?1j?1
2
１４１