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二次函式與一元二次方程考試知識點

二次函式與一元二次方程考試知識點

特別地,二次函式(以下稱函式)y=ax^2+bx+c,

當y=0時,二次函式為關於x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0

此時,函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。

1.二次函式y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點座標及對稱軸如下表:

當h0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

當h0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

當h0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

當h0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

當h0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

當h0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

因此,研究拋物線y=ax^2+bx+c(a0)的圖象,透過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點座標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

2.拋物線y=ax^2+bx+c(a0)的圖象:當a0時,開口向上,當a0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點座標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.拋物線y=ax^2+bx+c(a0),若a0,當x-b/2a時,y隨x的`增大而減小;當x-b/2a時,y隨x的增大而增大.若a0,當x-b/2a時,y隨x的增大而增大;當x-b/2a時,y隨x的增大而減小.

4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點:

(1)圖象與y軸一定相交,交點座標為(0,c);

(2)當△=b^2-4ac0,圖象與x軸交於兩點A(x,0)和B(x,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x-x|

當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

當△0.圖象與x軸沒有交點.當a0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y當a0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y0.

5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a0),則當x=-b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

頂點的橫座標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱座標,是最值的取值.