高一數學函式的單調性說課稿
一、教學內容的分析
1.教材的地位和作用
首先，從單調性知識本身來講.學生對於函式單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函式、二次函式、反比例函式圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識;第二階段是在高一進一步學習函式單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念;第三階段則是在高三利用導數為工具研究函式的單調性.高一單調性的學習，既是初中學習的延續和深化，又為高三的學習奠定基礎.
其次，從函式角度來講. 函式的單調性是學生學習函式概念後學習的第一個函式性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念.函式的單調性與函式的奇偶性、週期性一樣，都是研究自變數變化時，函式值的變化規律;學生對於這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函式解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程.因此，函式單調性的學習為進一步學習函式的其它性質提供了方法依據.
最後，從學科角度來講.函式的單調性是學習不等式、極限、導數等其它數學知識的重要基礎，是解決數學問題的常用工具，也是培養學生邏輯推理能力和滲透數形結合思想的重要素材.
2.教學的重點和難點
對於函式的單調性,學生的認知困難主要在兩個方面:
首先，要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降,把對單調性直觀感性的認識上升到理性的高度, 這種由形到數的翻譯,從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說比較困難.
其次，單調性的證明是學生在函式學習中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的.
根據以上的分析和教學大綱對單調性的教學要求，本節課的教學重點是函式單調性的概念，判斷、證明函式的單調性;難點是引導學生歸納並抽象出函式單調性的定義以及根據定義證明函式的單調性.
二、教學目標的確定
根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，我從三個方面確定了以下教學目標：
1.使學生從形與數兩方面理解函式單調性的概念，初步掌握利用函式圖象和單調性定義判斷、證明函式單調性的方法.
2.透過對函式單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;透過對函式單調性的證明，提高學生的推理論證能力.
3.透過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣;讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程.
三、教學方法的選擇
1.教學方法
本節課是函式單調性的起始課，根據教學內容、教學目標和學生的認知水平，主要採取教師啟發講授，學生探究學習的教學方法.教學過程中，根據教材提供的線索，安排適當的教學情境，讓學生展示相應的數學思維過程，使學生有機會經歷數學概念抽象的各個階段，引導學生獨立自主地開展思維活動，深入探究，從而創造性地解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養能力.
2.教學手段
教學中使用了多媒體投影和計算機來輔助教學.目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助於學生對問題的理解和認識.
四、教學過程的設計
為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為四個階段：創設情境，引入課題;歸納探索，形成概念;掌握證法，適當延展;歸納小結，提高認識.具體過程如下：
(一)創設情境，引入課題
概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括，只有學生對學習物件有了豐富具體經驗以後，才能使學生對學習物件進行主動的、充分的理解，因此在本階段的教學中，我從具體材料——有關奧運會天氣的例子出發，而不是從抽象語言入手來引入函式的單調性.使學生體會到研究函式單調性的必要性，明確本課我們要研究和學習的課題，同時激發學生的學習興趣和主動探究的精神.
在課前，我給學生布置了兩個任務：
(1) 由於某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.
課上透過交流，可以瞭解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.
(2) 透過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.
課上我引導學生觀察2006年8月8日的氣溫變化曲線圖，引導學生體會在某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.
然後，我指出生活中我們關心很多資料的變化，並讓學生舉出一些實際例子(如燃油價格等). 隨後進一步引導學生歸納：所有這些資料的變化，用函式觀點看，其實就是隨著自變數的變化，函式值是變大還是變小.
(二)歸納探索，形成概念
在本階段的教學中，為使學生充分感受數學概念的發生與發展過程和數形結合的數學思想，經歷觀察、歸納、抽象的探究過程，加深對函式單調性的本質的認識，我設計了三個環節,引導學生分別完成對單調性定義的三次認識.
1.藉助圖象，直觀感知
本環節的教學主要是從學生的已有認知出發，即從學生熟悉的常見函式的圖象出發，直觀感知函式的單調性，完成對函式單調性定義的第一次認識.
在本環節的教學中，我主要設計了兩個問題：
問題1：分別作出函式
的圖象，並且觀察自變數變化時，函式值有什麼變化規律?
在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得資訊：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大;第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然後讓學生明確，對於自變數變化時，函式值具有這兩種變化規律的函式，我們分別稱為增函式和減函式.
而後兩個函式圖象的上升與下降要分段說明，透過討論使學生明確函式的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函式的區域性性質.
對於概念教學，若學生能用自己的語言來表述概念的相關屬性，則能更好的理解和掌握概念，因此我設計了問題2.
問題2：能否根據自己的理解說說什麼是增函式、減函式?
教學中，我引導學生用自己的語言描述增函式的定義：
如果函式
在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函式
在某個區間上隨自變數x的增大，y也越來越大，我們說函式
在該區間上為增函式.
然後讓學生類比描述減函式的定義.至此，學生對函式單調性就有了一個直觀、描述性的認識.
2.探究規律，理性認識
在此環節中，我設計了兩個問題，透過對兩個問題的研究、交流、討論，將函式的單調性研究從研究函式圖象過渡到研究函式的解析式，使學生對單調性的認識由感性認識上升到理性認識的高度，使學生完成對概念的第二次認識.
問題1：右圖是函式
的圖象,能說出這個函式分別在哪個區間為增函式和減函式嗎?
對於問題1，學生的困難是難以確定分界點的確切位置.透過討論，使學生感受到用函式圖象判斷函式單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關係嚴格表述函式單調性的必要性，從而將函式的單調性研究從研究函式圖象過渡到研究函式的解析式.
問題2：如何從解析式的角度說明
在
上為增函式?
在前邊的鋪墊下，問題2是形成單調性概念的關鍵.在教學中，我組織學生先分組探究，然後全班交流，相互補充，並及時對學生的發言進行反饋，評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.
對於問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：
(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為
,所以
在
上為增函式.
(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以
在
上為增函式.
對於這兩種錯誤，我鼓勵學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析.引導學生明確問題的.根源是兩個自變數不可能被窮舉.在充分討論的基礎上，引導學生從給定的區間內任意取兩個自變數
,然後求差比較函式值的大小，從而得到正確的回答:
任意取
,有
,即
，所以
在
為增函式.
這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變數的取值具有任意性;(2)求差比較它們函式值的大小.事實上,這種回答也給出了證明單調性的方法，為後續用定義證明其他函式的單調性做好鋪墊,降低難度.至此，學生對函式單調性有了理性的認識.
3.抽象思維，形成概念
本環節在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函式單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程,完成對概念的第三次認識.
教學中，我引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函式的定義，並讓學生類比得到減函式的定義.然後我指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.
同時我設計了一組判斷題：
判斷題：
①
.
滿足f(2)
在[2,3]上為增函式.
③若函式
在
和(2,3)上均為增函式，則函式
在(1,3)上為增函式.
④因為函式
在
上都是減函式，所以
在
上是減函式.
透過對判斷題的討論，強調三點：
①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性.
②有的函式在整個定義域內單調(如一次函式)，有的函式只在定義域內的某些區間單調(如二次函式)，有的函式根本沒有單調區間(如常函式).
③函式在定義域內的兩個區間A,B上都是增(或減)函式，一般不能認為函式在
上是增(或減)函式.
從而加深學生對定義的理解，完成本階段的教學.
(三)掌握證法，適當延展
本階段的教學主要是透過對例題和練習的思考交流、分析講解以及反思小結，使學生初步掌握根據單調性定義證明函式單調性的方法，同時引導學生探究定義的等價形式，對證明方法做適當延展.
例證明函式
在
上是增函式.
在引入導數後，用定義證明單調性的作用已經有所降低，我選擇一個較難的例子，主要是考慮讓學生對證明過程中遇到的問題有一個比較深刻的認識.
證明過程的教學分為三個環節：難點突破、詳細板書、歸納步驟.
1.難點突破
對於函式單調性的證明，由於前邊有對函式
在
上為增函式的研究作鋪墊, 大部分學生能完成取值和求差兩個步驟:
證明：任取
,
，
因此學生的難點主要是兩個函式值求差後的變形方向以及變形的程度.問題主要集中在兩個方面:一方面部分學生不知道如何變形,不敢動筆;另一方面部分學生在變形不徹底,理由不充分的情形下就下結論.
針對這兩方面的問題，教學中，我組織學生討論，引導學生回顧函式
在
上為增函式的說明過程，明確變形的主要思路是因式分解.然後我引導學生從已有的認知出發，考慮分組分解法，即把形式相同的項分在一起，變形後容易找到公因式
,提取後即可考慮判斷符號.
2.詳細板書
在上面分析的基礎上，我對證明過程進行規範、完整的板書，引導學生注意證明過程的規範性和嚴謹性，幫助學生養成良好的學習習慣.
, 設元
求差
變形
.
由
得
斷號
又由
，得
即
.
所以，函式
在
上是增函式.定論
3.歸納步驟
在板書的基礎上，我引導學生歸納利用定義證明函式單調性的方法和步驟(設元,求差,變形,斷號,定論).透過對證明過程的分析，使學生明確每一步的必要性和目的，特別是第三步，讓學生明確變形的方法以及變形的程度，幫助學生掌握方法，提高學生的推理論證能力.
為了鞏固用定義證明函式單調性的方法，強化解題步驟，形成並提高解題能力，我設計了課堂練習：
證明：函式
在
上是增函式.
教學過程中，我對學生的完成情況進行及時評價和有針對性的指導.同時考慮到我校學生數學基礎較好，思維較為活躍的特點，為了加深學生對定義的理解，並對判斷單調性的方法做適當延展，我設計了下面的問題.
問題：除了用定義外，如果證得對任意的
，且
，能斷定函式
在
上是增函式嗎?
教學過程中，我引導學生分析這種敘述與定義的等價性.然後，讓學生嘗試用這種定義等價形式證明之前的課堂練習.這種方法進一步發展可以得到導數法，為今後用導數方法研究函式單調性埋下伏筆.
(四)歸納小結，提高認識
本階段透過學習小結進行課堂教學的反饋，組織和指導學生歸納知識、技能、方法的一般規律，深化對數學思想方法的認識，為後續學習打好基礎.
1.學習小結
在知識層面上，引導學生回顧函式單調性定義的探究過程，使學生對單調性概念的發生與發展過程有清晰的認識，體會到數學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義.
在方法層面上，首先引導學生回顧判斷，證明函式單調性的方法和步驟;然後引導學生回顧知識探究過程中用到的思想方法和思維方法，如數形結合，等價轉化，類比等，重點強呼叫符號語言來刻畫圖形語言,用定量分析來解釋定性結果;同時對學習過程作必要的反思,為後續的學習做好鋪墊.
2.佈置作業
在佈置書面作業的同時，為了尊重學生的個體差異，滿足學生多樣化的學習需要，我設計了探究作業供學有餘力的同學課後完成.
(1) 證明：函式
在
上是增函式的充要條件是對任意的
，且有
目的是加深學生對定義的理解，而且這種方法進一步發展同樣也可以得到導數法.
(2) 研究函式
的單調性，並結合描點法畫出函式的草圖.
目的是使學生體會到利用函式的單調性可以簡化函式圖象的繪製過程，體會由數到形的研究方法和引入單調性定義的必要性，加深對數形結合的認識.