必修四數學期末試卷
高中數學必修一必修四綜合檢測題(一)
一、選擇題
1.若向量 ， ， 滿足條件 ，則 =( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如果 ，那麼 等於( )
A. B. C. [ D.
3.已知向量 ( )
A. B. C. D.
4.若一圓弧長等於其所在圓的內接正三角形的邊長，那麼其圓心角的弧度數為( )
A. B. C. D.2
5.若 ,則 的值為( )
A. B. C. D.
6.函式 在一個週期內的圖象如下，此函式的解析式為( )
A. B.
C. D.
7.已知函式 ，若函式 有3個零點，則實數m的取值範圍( ).
A.(0, ) B. C. D. (0,1)
8. 為三角形 的一個內角,若 ,則這個三角形的形狀為( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
9.設 是定義在 上的奇函式，且 ， ，則 ( )
A.0 B. 0.5 C.2 D.
10.已知函式 滿足:對任意實數 ,當 時,總有 ,那麼實數 的取值範圍是 ( )
A. B. C. D.
二、填空題
11.已知 ,則 = .
12.方程 在 上有兩個不等的實根，則實數 的取值範圍是
13.設 ，則
14.若 ，則 的取值範圍是
15.關於x的方程 有實根，且一個大於2，一個小於2，則m取值範圍為_ __ __.
三、解答題
16. 已知集合 ， , 。
(1)求 ;(2)求 ;(3)若 ，求 的取值範圍
17.已知向量 與 的夾角為30°，且| |= ，| |=1，
(1)求| -2 |的值
(2)設向量 = +2 ， = -2 ，求向量 在 方向上的投影
18.已知向量a=cos x，-12，b=(3sin x，cos 2x)，x∈ ，設函式 =a•b.
(1)求 的最小正週期;
(2)求 在0，π2上的最大值和最小值.
19.設 是定義在R上的奇函式，且對任意a、b ，當 時，都有 .
(1)若 ，試比較 與 的大小關係;
(2)若 對任意 恆成立，求實數k的取值範圍.
20. 在每年的“春運”期間，某火車站經統計每天的.候車人數 (萬人)與時間 (小時)，近似滿足函式關係式 ， ，並且一天中候車人數最少是夜晚2點鐘，最多是在下午14點鐘。
(1)求函式關係式?
(2)當候車人數達到13萬人以上時，車站將進入緊急狀態，需要增加工作人員應對。問在一天中的什麼時間段內，車站將進入緊急狀態?
21.已知函式 的圖象過點 ，且圖象上與 點最近的一個最高點座標為 .
(1)求函式的解析式;
(2)指出函式的增區間;
(3)若將此函式的圖象向左平行移動 個單位長度後，再向下平行移動2個單位長度得到 的圖象，求 在 上的值域.
(選做)22.已知函式
(1) 判斷 的單調性並證 明;
(2)設函式 .若關於x的方程g(x)=0在(0，2)上有兩個解x1，x2,求k的取值範圍, 並比較 與4的大小.
高中數學必修一必修四檢測題(一)參考答案
CDBCA ADBBA 11. 12. 13.17 14. 15.
16.解：(1)
=
(2)
=
(3) 集合 , ，且
17.解(1)∵| -2 |= =
= =1
(2)(法一)：由(1)可知 ; ; =
∴ = = ;從而在方向上的投影為 =
(法二)：∵由(1)可知 ; = = =
18.解：f(x)=cos x，-12•(3sin x，cos 2x)
=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x
=cosπ6sin 2x-sinπ6cos 2x=sin2x-π6.
(1)f(x)的最小正週期為T=2πω=2π2=π，
即函式f(x)的最小正週期為π.
(2)∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤5π6.
由正弦函式的性質，知當2x-π6=π2，即x=π3時，f(x)取得最大值1;
當2x-π6=-π6，即x=0時，f(0)=-12，
當2x-π6=5π6，即x=π2時，fπ2=12，
∴ f(x)的最小值為-12.
因此，f(x)在0，π2上的最大值是1，最小值是-12.
19.解：(1)因為 ，所以 ，由題意得：
，所以 ，又 是定義在R上的奇函式，
，即
(2)由(1)知 為R上的單調遞增函式，
對任意 恆成立，
，即 ，
， 對任意 恆成立，
即k小於函式 的最小值.
令 ，則 ，
.
20.解：(1)由題意知
解得：
即：
又∵當 時，
∴
∴
(2)問題等價於，
即
∴
答：一天中10——18點，車站將進入緊急狀態。
21.(1)由已知可得
由 得
……3分
(2)由
增區間是
(3)
的值域為
22.解：(1)由題意得： ，設 ，
則
， ，又 ，得
，即 ，∴ 在 上為增函式.
(2)
在 上有兩個解 ，不妨設
因為
所以 在 是單調函式，故 在 上至多一個解.
若 ，則 ，故不符題意，因此
由 得 ，所以 ，
由 得 ，所以 ;
故當 時，方程 在 上有兩個解.
方法一：因為 ，所以 ，
消去 得 ，即
因為 ，所以 .
方法二：由 得
由 ，得 ，因為 ，所以 .
則 .
而 在 上是減函式
則
因此