實變函式的複習資料
一、集合
1、 證明：(A B) C A (B C)；(A B) C (A C) (B C)。
2、 證明：單調上升（下降）有上界（下界）的數列{xn}必有上確界（下確界），且sup{xn} limxn，
nn
（inf{xn} limxn）。 nn
3、 證明：若{An}單增，則limAn An；若{An}單減，則limAn An。 n n 1n n 1
114、 證明：E[f a] E[f a ]；E[f a] E[f a ]。 n 1n 1nn
5、 證明：任何無限集必與其一個真子集對等。
6、 證明：若A是無限集，B是有限集或可數集，則A B A。
7、 證明：有理數全體成一可數集。
8、 證明：開區間(0,1)是一不可數集。
9、證明：無理數全體成一不可數集。
二、點集
1、設A B，證明：A B ,A0 B0,A B。
2、證明： A A A。
3、設E是[0,1]中的全體有理點，求E在R內的E ,E0,E。
4、設E {(x,y)|0 x y 1}，求E在R內的全體內點集，外點集，界點集，聚點集，孤立點集。
5、設E R，證明：E是開集，E 和E是閉集。
6、證明開集的任意並、有限交仍為開集。並舉例說明開集的任意交不一定是開集。
7、證明開集與閉集的對偶性。
8、證明：點集F為閉集的充要條件是F F。
9、設f(x)是定義在R上的函式，則f(x)在其上連續的充要條件是：對任意開集G，點集n012220
f 1(G) {x|f(x) G}是開集。
三、測度論
n1、 若E {(0,0, ,0)} R，求mE。 *
**2、 證明：若A B，則mA mB。
3、 若mA 0，則對任意B，證明：m*(A B) m*B。
4、 若m*(E1E2) m*(E2E1) 0，
證明：m*(E1 E2) m*(E1 E2) m*E1 m*E2。
5、 設S1,S2均為可測集，S2 S1且mS2 ，證明：m(S1 S2) mS1 mS2。
6、 證明：凡外測度為零之集皆可測。
7、 若X {1,2,3}， {{1},{2,3}}，試寫出X上由 所生成的 代數。
8、 若{En}是一列可測集，證明：
1）limEn與limEn都是可測集；
n n *
2）m(En) mEn；
n n
3）若m(
n 1UEn) ，則limmEn m(limEn)。 n n
9、若可測集列{En}滿足
四、可測函式 m(En 1 n) ，證明m(limEn) 0。 n
1、 若E是可測集，f(x) c,x E，c為常數，證明f(x)是E上的可測函式。
2、 若E是可測集，A E，f(x)為定義在E上的函式，f(x)
數的充要條件是E為可測集。
3、 設f(x)是定義在可測集E上的函式，證明：f(x)是E上的可測函式的充要條件是對任意有限實數a， 1,x A，證明f(x)是E上可測函 0,x A
E[f a]是可測集。
4、 證明可測集上的連續函式必是可測函式。
5、 設E R是可測集，f(x)為定義在E上的'實函式，證明：f(x)為E上的可測函式的充要條件是對
任意開集G R，f 1n(G)是可測集。
6、 設fn(x)依測度收斂於f(x)，證明：fn(x)依測度收斂於g(x)的充要條件是 f(x) g(x)a.e.於E。
7、 設{fn(x)}是可測集E上一列可測函式，f(x) a.e.於E。若對任給 0,存在E的可測子集
E ，使得m(EE ) ，且{fn(x)}在E 上一致收斂於f(x)，證明：{fn(x)}在E上幾乎處處收斂於f(x)。
8、 設E是可測集，f(x) a.e.於E，若對任給 0,存在E的閉子集F，使得m(EF) ，且
f(x)在F上連續，證明：f(x)是E上的可測函式。
五、積分論
1、 設mE ，f(x)是定義在E上的非負可測函式，證明：若f(x)在E上有界，則f(x) 在E上L可
積。
2、 設E是可測集，f(x)是定義在E上的非負可測函式，證明：
1）若 Ef(x)dx 0，則f(x) 0a.e.於E；
2）若A,B是E的兩個互不相交的可測子集，則 A Bf(x)dx f(x)dx f(x)dx。 AB
3、設E是可測集，f(x)與g(x)都是定義在E上的非負可測函式，
證明：若f(x) g(x)，則 Ef(x)dx g(x)dx。 B
4、設A,B是可測集且A B，f(x)是定義在B上的非負可測函式，證明： Af(x)dx f(x)dx。 B
E上一列非負可測函式，當x E時，對任意n Z有fn(x) fn 1(x)且5、設E是可測集，{fn}
n 1為
limfn(x) f(x)。若 f1(x)dx ，證明：lim fn(x)dx f(x)dx。 n En EE
6、設E是可測集，證明：
（1）設f在E上積分確定且f(x) g(x)，則g也在E上積分確定且
（2）設f和g都在E上積分確定且f(x) g(x)，則 Ef(x)dx g(x)dx。 E Ef(x)dx g(x)dx。 E