備戰中考：數學函式及圖象的複習
一、總述
函式及其圖象是初中數學的重要內容。函式與許多知識有深刻的內在聯絡，關聯著豐富的幾何知識，又是進一步學習的基礎，所以，以函式為背景的問題，題型多變，可謂函式綜合題長盛不衰，實際應用題異彩紛呈，圖表分析題形式多樣，開放、探索題方興未艾，函式在中考中佔有重要的地位。
二、複習目標
1、理解平面直角座標的有關概念，知道各象限及座標軸上的點的座標特徵，能確定一點關於x軸、y軸或原點的對稱點的座標。
2、會從不同角度確定自變數的取值範圍。
3、會用待定係數法求函式的解析式。
4、明確一次函式、二次函式和反比例函式的圖象特徵，知道圖象形狀、位置與解析式係數之間的關係。
5、會用一次函式和二次函式的知識解決一些實際問題。
三、知識要點
(一)平面直角座標系中，x軸上的點表示為(x，0);y軸上的點表示為(0，y);座標軸上的點不屬於任何象限。
(二)一次函式
解析式：y = kx + b(k、b是常數，k 0)，
當b = 0時，是正比例函式。
(1)當k 0時，y 隨 x 的增大而增大;
(2)當k 0時，y 隨x 的增大而減小。
(三)二次函式
1、解析式：
(1)一般式：y = ax2 + bx + c (a
(2)頂點式：y = a ( x m ) 2+ n，頂點為(m , n);
(3)交點式：y = a (x x1 ) ( x-x2 )，與x 軸兩交點是(x1,0)，(x2,0)。
2、拋物線位置由a、b、c決定。
(1)a決定拋物線的開口方向：a0開口向上;a0開口向下。
(2)c決定拋物線與y軸交點的位置：
① c0圖象與y軸交點在x軸上方;
② c=0圖象過原點;
③ c0圖象與y軸交點在x軸下方。
(3)a、b決定拋物線對稱軸的位置，對稱軸 。
① a、b同號對稱軸在y軸左側;
② b = 0對稱軸是y軸;
③ a、b異號對稱軸在y軸右側。(4)頂點 。
(5)△= b2-4ac決定拋物線與 x 軸交點情況：
① △0拋物線與 x 軸有兩個不同交點;
② △=0拋物線與 x 軸有唯一的公共點;
③ △0拋物線與 x 軸無公共點。(四)反比例函式
解析式： 。
(1)k0時，圖象的兩個分支分別在一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小;
(2)k0時，圖象的兩個分支分別在二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大.
四、例題選講
例1.為預防非典，小明家點艾條以淨化空氣，經測定艾條點燃後的長度y cm與點燃時間 x 分鐘之間的關係是一次函式，已知點燃6分鐘後的長度為17.4 cm，21分鐘後的長度為8.4 cm。
(1)求點燃10分鐘後艾條的長度。
(2)點燃多少分鐘後，艾條全部燒完。
解：(1)令 y=kx+b，
當 x=6 時，y=17.4，當x=21時 y=8.4，則
(2)艾條全部燒完，即y=0，
令 ，解得：x=35，
因此，點燃35分鐘後艾條全部燒完。
例2.小明從斜坡O點處丟擲網球，網球的運動曲線方程是 ，斜坡的直線方程是 ，其中y是垂直高度(米)，x是與O點的水平距離(米)。
⑴網球落地時撞擊斜坡的落點為A ，求出A 點的垂直高度，以及A 點與O點的水平距離。⑵求出網球所能達到的最高點的座標。
分析: (1)∵A 點的垂直高度就是點A的縱座標，
A 點與O點的水平距離就是點A的橫座標，而點A既在拋物線上又在直線上
只要解拋物線方程和直線方程聯立的方程組，求得方程組的解即可。
(2)求最高點即拋物線頂點B的座標，只要把拋物線方程改寫成頂點式，或者用頂點座標的公式即可求出。
解：(1)由方程組 解得A點座標(7，3.5)，求得A點的垂直高度為3.5米，A點與O點的水平距離為7米。
例3若點(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)都在反比例函式 的影象上,則
(A)y1y3 (B)y2y3 (C)y3y2 (D)y1y2分析：∵函式 的影象在第二、四象限，
y隨著x的增大而增大，又第二象限的的函式
值大於第四象限的函式值
y2y3，選(B)
例4.如圖，要建一個長方形養雞場，雞場的一邊靠牆，如果用50米長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔牆的養雞場，設它的長度為x米,
(1)要使雞場面積最大，雞場的長應為多少米?
(2)如果中間有n(n是大於1的整數)道籬笆
隔牆，要使雞場的面積最大，雞場的長應為
多少米?
解:(1)設雞場的面積為y米2,則寬為 米，即 。
所以當x=25時，雞場的面積最大。
由(1)(2)結果可得出：不論雞場中間有幾道牆，要使雞場面積最大，它的總長等於籬笆總長的一半。
例6.某家電生產企業跟蹤市場調查分析，決定調整產品生產方案，準備每週(按120個工時計算)生產空調器、彩電、冰箱共360臺，
(4)根據圖乙,自編一則新的龜兔賽跑的寓言故事，要求如下:
①用簡潔的語言概括大意，不能超過200字;
②圖中能確定的數值，在故事敘述中不能少於3個，且分別涉及時間、路程和速度。分析：烏龜的運動路徑是過點(0,0)、(35,200)的一條線段。兔子的運動路徑分三段：
1)端點為(0,0)、(5,200)的線段;
2)端點為(5,200)、(35,200)平行於橫軸的線段;
3)端點為(35,200)、(40,300)的線段。
烏龜追上兔子處，從圖中看，就是虛線和實線的交點。解：(1)甲;
(2)
主人公
(龜或兔) 到達時間
(分) 最快速度
(米/分) 平均速度
(米/分)
實線 兔 40 40
虛線 龜 35
(3)①
②結合影象，由 ，解得 ，即烏龜用 分追上小兔，追及地距起點200米。
(4)例文：
聽到發令槍響，小兔迅速向前衝去，他用了5分多鐘就跑出了150米，這時，他回頭一看，發現烏龜才跑出50米就不動了，原來烏龜受傷了，小兔連忙跑回來，用5分鐘時間為烏龜包紮好傷口，然後，扶著烏龜一起以10米/分的速度前進，又經過了25分鐘，他們終於一起到達了300米的終點。例6.圖1是稜長為a的小正方體，圖2、圖3由這樣的小正方體擺放而成，按照這樣的`方法繼續擺放，自上而下分別叫第一層、第二層、第n層，第n層的小正方體的個數記為s。解答下列問題：
(1)按照要求填表：
(2)寫出當n=10時，s=_____;
(3)根據上表中的資料，把s作為縱座標，在平面直角座標系中描出相應的各點。
(4)請你猜一猜上述各點會在某一個函式圖象上嗎?如果在某一函式的圖象上，求出該函式的解析式。
(4)經觀察所描各點，它們在二次函式的影象上。設函式的解析式為S=an2+bn+c，由題意得：
所以， .
例7.且冰箱至少生產60臺，已知生產這些產品每臺的需工時和每臺產值如下表：
家電名稱 空調器 彩電 冰箱
工時
產值(千克) 4 3 2
問每週應生產空調器、彩電、冰箱各多少臺，才能使生產之最高?最高產值是多少千元?
[分析]可設每週生產空調、彩電、冰箱分別為分別為x臺、y臺、z臺。故有目標函式S=4x+3y+2z(即產值與家電的函式關係)。在目標函式中，由於4x+3y+2z中有三個未知數，故需消去兩個未知數，得到一個一元函式，在確定這個變元的取值範圍，從而可得出問題的解答。
[解]設每週生產空調器、彩電、冰箱分別為x臺、y臺、z臺。
由題意得：
由①②消去z得y=360-3x.
將⑤帶入①得 x+(360-3x)+z=360，即z=2x.
∵ z60， x30.
將⑤⑥代如④得S=4x+3(360-3x)+2(2x)=-x+1080.
由條件⑦知，當x=30時，產值最大，且最大值為-30+1080=1050(千元)
將x=30代入⑤⑥得 y=360-90=270，z=230=60.
答：每週應生產空調器30臺，彩電270臺，冰箱60臺，才能使生產值最大，最大生產值為1050千元。
例1是用待定係數法求一次函式的典型例子，所示不同的只是賦予了較新的背景材料，待定係數法是求函式解析式最常用的方法之一，用待定係數法解題的策略是有幾個待定的係數就找幾個方程構成方程組。
例2的關鍵是把實際問題轉化為求兩解析式交點的問題，以及如何求二次函式頂點的方法。
例3主要是數與形的轉換，歷為函式影象能直觀地反映函式的各種性質。利用數形結合的思想，同學們可以開拓解題思路，設計更好的解題方案，以便迅速地找到解決問題的途徑。
例4和例7是函式應用題，我們首先要從問題出發，利用量與量之間的內在聯絡，引進數學符號，建立函式關係式，再確定函式關係式中自變數的取值範圍，利用函式性質，結合問題的實際意義，最後得出問題的解答。
例5是一道比較新穎的影象資訊題，不僅考察同學們的數學知識，還要有同學們有一定的文學功底，解這類題首先要讀懂圖形，從圖中獲取資訊，一個一個地將條件抽象成數量關係，最後一問同學們創設的情景一定要合乎常理。
例6透過請同學們觀察三個立體圖形，猜想探索發現規律，並把發現的規律一般化，最後用影象語言表述結果，命題經歷了問題情景建立模型解釋，應用拓展, 練習這樣一個完整的解決數學問題的過程。
練習
①函式y=中自變數x的取值範圍是________.
②點A(1,m)在函式y=2x的影象上,則點A關於y軸的對稱的點的座標是(_____).
③若點(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)都在反比例函式的影象上,問y1,y2,y3間存在怎樣的關係?
(A)y1y3 (B)y2y3 (C)y3y2 (D)y1y2
④正比例函式y=kx和反比例函式的影象交於M,N兩點,且M點的橫座標為-2.
(1)求兩焦點座標;
(2)如果函式y=kx和的影象無交點,求k的取值範圍.
⑤設拋物線y=ax2+bx+c經過A(-1,2),B(2,-1)兩點,且與y軸相交於點M.
(1)求b和c(用含a的代數式表示);
(2)求拋物線y=ax2-bx+c-1上橫座標與縱座標相等的點的座標;
(3)在第(2)小題所求出的點中,由一個點也在拋物線y=ax2+bx+c上,是判斷直線AM和x軸的位置關係,並說明理由.
為敘述方便,下面解題過程中,把拋物線y=ax2+bx+c叫做拋物線C1, 把拋物線y=ax2-bx+c-1叫做拋物線C2.
解:(1)∵拋物線C1經過A(-1,2),B(2,-1)兩點,
解得b=-a-1,c=1-2a.
(2)由(1),得拋物線C2的解析式是y=ax2+(a+1)x-2a.
根據題意,得ax2+(a+1)x-2a=x,
即 ax2+ax-2a=0 (※)
∵a是拋物線解析式的二項式係數,a0.
方程(※)的解是x1=1,x2=-2.
拋物線C2上滿足條件的點的座標是P1(1,1),P2(-2,-2)
(3)由(1)得拋物線C1的解析式是y=ax2-(a+1)x+1-2a.
①當P1(1,1)在拋物線C1上時,有a-(a+1)+1-2a=1.
解得
這時拋物線C1得解析式是
它與y軸的交點是C(0,2).
∵點A(-1,2),C(0,2)兩點的縱座標相等,
直線AC平行於x軸.
②當P2(-2,-2)在拋物線C1上時,有4a+2(a+1)+1-2a=-2.
解得
這時拋物線C1得解析式是
它與y軸的交點是C(0,).
顯然A,C兩點的縱座標不相等,
直線AC與x軸相交.
綜上所述, 當P1(1,1)在拋物線C1上時, 直線AC平行於x軸; 當P2(-2,-2)在拋物線C1上時, 直線AC與x軸相交.
小結：
應用函式知識解決實際問題的具體步驟：
(1)審清題意，找出影響問題解的關鍵變數自變數，指出自變數的範圍，並將其他相關變數用自變量表示;
(2)根據條件，建立變數間的函式關係式;
(3)利用函式性質，求出問題的答案。
另外，同學們在解決函式問題時，常常會用到待定係數法、化歸與轉化、數形結合等數學思想方法。
數學網