高等數學競賽訓練題精選
一、馬克老林公式與泰勒公式的應用
1. 當x?0時，x?sinxcosxcos2x與cx為等價無窮小，則c?。 k
二、利用羅比達法則求極限
1112. 若當x?且趨向於時，??3arccosx與a(x?)b為等價無窮小，則 222
a?b?
xx?x3. 求lim。 x?1lnx?x?1
4. 求limsin(sinx)?sin(sin(sinx))。 x?0(sinx)3
t??5. 求limx?(1?)x?et?。 x??x??
xx1a1x?a2an)x。 6. 求lim(x?0n
三、導數在幾何上的'應用
7. 設f(x)在?0,???上可導，f(0)?0，f?(x)單調上升，求證：f(x)在?0,???上x單調上升。
8. 已知g(x)在區間?a,b?上連續，且函式f(x)在?a,b?上滿足f???gf??f?0，又
f(a)?f(b)?0，證明：f(x)在閉區間?a,b?上恆為一個常數。
四、導數在幾何上的應用
9. 設f(x)在?0,???上二階可導，f(0)?0,f?(0)?1,f??(x)?f(x),求證：x?0時，
f(x)?ex。
10. 假設f(x)?a1sinx?a2sin2xansinnx，其中a1,a2???an是實數，且
f(x?si，試證明：
a1?2a2nan?1
參考答案：
1. 應用三角函式化簡得
11 x?sinxcosxcos2x?x?sin2xcos2x?x?sin4x 24
1 由於sinx?x?u3?o(u3),所以 3!
1?1? x?sinxcosxcos2x?x??4x?(4x)3?o(x3)? 4?6?
?x?x?133833?4x?o(x)?x?o(x) 3
243
8因x?0時，原式cxk,所以c?,k?3. 3
2. 因為
1x??2lim??3arccosx1a(x?)b
26?lim?lim?1 111b?1x??x??(x?)b?12ab(x?)222
所以b?1??
6,於是a?b?1.
3. 應用羅比達法則，並應用取對數求導法則，有
xx(xlnx)??1xx(1?lnx)?1xx(1?lnx)2?xx?1
?lim?lim??2 原式?limx?1x?1x?111?x?1?1x
4. 令sinx?t
sint?sin(sint)cost?cos(sint)cost1?cos(sint)?lim?limcost 原式?lim 322t?0t?0t?0t3t3t
(sint)2t2
1 ?limcost2?lim2?。 t?0t?03t3t6
15. 令r? x
t(1?rt)?ee?? limx?(1?)x?et??lim?etlimx??r?0?xr??r?0?
1rt1ln(1?rt)?tr?1r
t?tln(1?rt)?rt?rtt2
tttt?elim?elim?telim??er?0?r?0?r?0?2r(1?rt)r22r2
xxln(a1x?a2an)?lnn) 6. 原式?exp(limx?0x
?exp(lim1x(a1xlna1?ax
2lna?2????anlnan)) xxxx?0a?aa12n
1 ?exp((lna1?lna2lnan)) n
?exp(ln(a1a2???an))
?(a1a2???an)
7. 令F(x)?f(x)(x??0)，則 x
xf?(x)?f(x)xf?(x)?(f(x)?f(0))F?(x)?? x2x21n1n
應用拉格朗日中值定理，? ??(0,x)，使得
) f(x)?f(0?)?f?( x
於是
F?(x)?x(f?(x)?f??())f?x?(f)??()? x2x
由於f?(x)單調上升，所以f?(?)?f?(x)，代入上式得F?(x)?0，故F(x)單調增。
8. 假設f(x)在?a,b?上不恆為常數，則由f(x)的連續性及f(a)?f(b)?0知
? x0?(a,b)，使得f(x0)是f(x)在?a,b?上的最值。由費馬定理，有f?(x0)?0，從而f??(x0)?f(x0)。
若f(x0)是最小（大）值，必有f(x0)?0 (?0)，從而f??(x0)?0 (?0)。又根據f??(x0)?0 (?0)可知f(x0)是極大（小）值，這與f(x0)是最小（大）值矛盾，故f(x)在?a,b?上恆為常數。
9. 令F(x)?e?xf(x)，則
F?(x)??ex(?f(?x)f( x)
令G(x)?ex(f?(x)?f(x))，則 G?(x)?ex(f??(x)?f(x))?0
?G(x)?? G(x)?G(0)?f?(0)?f(0)?0 ?f?(x)?f(x)?0?F?(x)?e?x(f?(x)?f(x))?0 ?F(x)?? F(x)?e?xf(x)?F(0)?1 由此可得f(x)?ex。
10. 根據題意，有
f?(0)?(a1cosx?2a2cos2xnancosnx) ?a1?2a2nan a1?2a2nan?f?(0)?limx?0x?0 f(x)?f(0)f(x) ?limx?0xx 由題意知x?0時
f(xsi ?xx
由極限的區域性保號性得
limx?0f(x)sinx?lim?1 x?0xx
f(x)?1 x 故a1?2a2nan?limx?0