高一數學的教學計劃
一、內容和內容解析
內容：解析幾何介紹，直線的傾斜角和斜率。
本課是解析幾何第一課時。萬事開頭難，好的開始是成功的一半，解析幾何的基本思想和方法都應當得到適當的體現，因此教
學內容不僅有傾斜角、斜率的概念，還應當包含座標法、數形結合思想、解析幾何發展史等。
直線的傾斜角和斜率都描述了直線的傾斜程度，傾斜角用幾何位置關係刻畫，斜率從數量關係刻畫，二者的聯絡橋樑是正切函式
值，並且可以用直線上兩個點的座標表示。建立斜率公式的過程，體現了座標法的基本思想：把幾何問題代數化，透過代數運算研究幾何圖形的性質。
本課涉及兩個概念傾斜角和斜率。傾斜角是幾何概念，它主要起過渡作用，是聯絡新舊知識的紐帶，研究斜率、直線的平行、
垂直的解析表示等問題時都要用這個概念;斜率概念，不僅其建立過程很好地體現瞭解析法，而且它在建立直線方程、透過直線方程研究幾何問題時也起核心作用，這是因為在直角座標系下，確定直線的條件最本質條件是直線上的一個點及其斜率，其他形式都可以化歸到這兩個條件上來。
綜上，從解析幾何的基本方法座標法的基本思想考慮，斜率概念是本課時的核心概念。 本課的教學重點是：
使學生經歷幾何問題代數化的過程，初步瞭解解析幾何研究問題的基本思想方法，體會座標法;理解斜率的定義，掌握過兩點的
直線的斜率公式。
二、目標和目標解析
1.理解傾斜角的概念，體會在直角座標系下，以座標軸為參照系，用統一的標準刻畫幾何元素的思想方法。 2.理解斜率的定義和斜率公式，經歷幾何問題代數化的過程，瞭解解析法的基本步驟，感受解析幾何的思想方法。 3.透過解析幾何發展史的簡單介紹，滲透數學文化教育。 三、教學問題診斷分析
平面幾何中，兩點確定一條直線是沒有參照系的，如何使學生在這一知識的基礎上，順利、自然地過渡到直角座標系下用一個
點和傾斜角確定一條直線，是比較困難的。事實上，已知直線的傾斜角就相當於已知直線的方向，因此已知兩個點可以確定直線的方向，這與一個點和直線的方向確定一條直線是一致的。在教學中應注意引導學生建立這種聯絡。
由於學生還沒有系統學習三角函式，所以要求學生利用補充的公式對傾斜角和斜率的關係進行研究，並猜想出一般的結論，是比
較困難的。
函式是以圖助數，利用圖形使代數問題直觀化，解析幾何則是以數助形，用座標法研究幾何問題。它們都體現了數形結合思想，
但角度不同。學生知道一次函式的圖象是一條直線，這裡研究的是直線的方程，學生容易將二者混淆，誤認為方程就是一次函式。因此在教學時要注意澄清二者的不同。
基於上述分析，確定本課時的教學難點：
直角座標系下刻畫直線的幾何要素的認識傾斜角概念的形成;用座標刻畫傾斜角的方法斜率概念本質的認識。 四.教學支援條件分析
可以借用幾何畫板動態演示座標系下確定直線的幾何要素，傾斜角的變化與斜率變化之間的關係等。藉助實物展臺展示學生的研
究方法和計算過程。
五.教學過程設計
(一)引言
在平面幾何裡，我們直接依據圖形中點、線、面的關係，研究圖形的性質。現在我們採用另一種研究方法：座標法。座標法是在
座標系的基礎上，把幾何問題轉化為代數問題，透過代數運算研究幾何圖形性質的一種方法。
本章首先在平面直角座標系中，給直線插上方程的翅膀，透過直線方程研究直線之間的位置關係：平行、垂直，以及兩條直線
的交點座標，點到直線的距離等。
解析幾何是17世紀法國數學家笛卡爾和費馬共同創立的。解析幾何的創立是數學發展史上的一個重要的里程碑，數學從此由常
量數學進入變數數學時期。解析幾何由此成為近代數學的基礎之一。
本課時我們將研究最基礎的知識直線的傾斜角和斜率，並在其學習過程中體會和感受解析幾何研究問題的基本方法和思想。 (設計意圖：使學生了解學習的新內容的特點及意義。) (二)傾斜角概念的形成
問題1 平面幾何中，確定直線的條件是什麼?對於平面直角座標系內的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢? (設計意圖：引導學生複習初中學過的相關知識，尋找本課時學習內容的固著點、生長點。) 預設的回答：兩點確定一條直線。
啟發引導：還有沒有別的方法?能否利用給定的.直角座標系? 在學生一定時間的思考後提出
問題2在直角座標系內任給一個點，過這個點的直線有無數條。再給一個什麼條件就可以唯一確定一條直線呢?請動手操作一下。 預設的回答：可能會有與x軸的交角與y軸的交角等。
啟發性講解：(藉助於資訊科技演示)可以發現，過一個點的直線有無數條，再借助座標軸，給定直線與座標軸的交角，那麼直
線就唯一確定了。一般的，我們以水平線x軸為基準，這也符合我們日常表示物體傾斜程度的習慣。因此我們約定圖1中的角表示直線的傾斜程度，把它叫做直線的傾斜角。
由教師給出直線的傾斜角的定義，指出傾斜角的意義：
當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角
(angle of inclination).圖2中直線l的傾斜角為銳角，直線l的傾斜角為鈍角。當直線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0o。
(這個定義可否這樣給出：當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的最小正(這三個字是否新增要看必修教材教學的順序，如果是12345的順序，就不需要新增正字，如果是14523的順序，則需要新增)角叫做直線l的傾斜角(angle of inclination).當直線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0o，因此直線的傾斜角的取值範圍為0o180o.(這
樣做的原因是，定義簡潔，自明，惟一，可以根據定義進行判斷，而不需要用圖形對定義進行補充說明。) 追問：由定義，傾斜角的範圍是什麼?
(設計意圖：在定義的形成過程中主要上針對個別條直線，研究的重點是定義的形成，透過這個問題引導學生研究所有直線與其
傾斜角的關係，將定義具體化，全面化，同時得到傾斜角的意義。)
預設的答案：傾斜角的取值範圍為0o180o。
傾斜角的意義：平面內每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等;傾斜程度不同的直線，其傾
斜角步等。因此，直線的傾斜角表示平面內一條直線的傾斜程度。
(三)斜率概念的形成
問題3 日常生活中我們經常遇到上坡下坡之類的問題，你知道哪些表示傾斜程度的量嗎?這些量與傾斜角有關係嗎? (設計意圖：瞭解學生的知識經驗，並引導學生建立坡度與傾斜角的關係。)
(活動方式：先由學生在回憶的基礎上做答，教師收集整理，挑選其中合理的成份。之後再在學生回答的基礎上引導學生建立這
個量與傾斜角之間的關係。)
預設的複習答案：可以用坡度表示斜坡的傾斜程度，如圖3，有坡度(比)=。
(此處可舉具體的數字進行解釋或複習)
坡度與傾斜角的關係預設的答案：如圖3所示是斜坡的主檢視，可見，斜坡可以抽象為一條直線，它關於水平面的傾斜角記為，
那麼這裡的坡度(比)實際就是傾斜角的正切值。
小結講授：把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率(slope)。斜率常用小寫字母k表示，即k=tan。
問題4 如圖2，直線l的傾斜角=45 o，直線l的傾斜角=135 o，寫出兩條直線的斜率。再選取一些資料如傾斜角為：30 o，
150 o，60 o，120 o等，計算相應直線的斜率。並分析直線的傾斜角不同時，直線的斜率取值是否也不同，在此基礎上總結斜率的意義。
(提示：當為銳角時，tan(180 o-)=-tan。)
(設計意圖：引導學生透過有代表性的具體例項的分析，利用提示中的知識，結合初中學過的正切值，瞭解斜率取值的特點，
滲透分類討論點思想總結出斜率的意義。此處也可以多增加一些角，用計算器計算)
(活動方式：由學生獨立完成，教師在方法上予以指導分類討論法，並類比傾斜角的意義思考概括。) 計算過程：表1： 傾斜角 30 o 45 o 60 o 135 o 120 o 150 o 斜率
預設的答案：傾斜角是90 o的直線沒有斜率;傾斜角不是90 o的直線都有斜率;傾斜角不同，直線的斜率也不同。斜率大
於0的直線的傾斜角為銳角，並且斜率越大傾斜角越大;斜率小於0的直線的傾斜角為鈍角，並且斜率越小傾斜角越大。(此處可以結合具體計算過程得到的表1進行理解。)
因此，我們可以用斜率表示直線的傾斜程度。 (四)直線斜率的座標計算法
問題5：確定直線的兩個條件點和傾斜角(或斜率)中的點可以用座標表示，傾斜角已經代數化為斜率。在引言中已經談到，
解析幾何的基本方法就是座標法，因此要利用傾斜角和斜率對直線進行進一步的代數化的研究必須建立斜率的座標表示方法。根據斜率定義的過程，你能否將坡度進一步座標化，在此基礎上求出斜率的座標表示?
(設計意圖：逐步實踐座標法。)
(活動方式：先由學生初步座標化，教師引導分類求解。) 活動過程：
原問題轉化為：給定兩點P1(x1,y1), P2(x2, y2)(其中x1x2)的座標，求出直線P1 P2的斜率k。
分析：解決這個問題需要分類求解，首先是對於特殊直線，與x軸垂直或平行(重合)的直線進行分析求解。對於其他直線分類
的依據是兩點在直線上位置以及直線的傾斜角是銳角還是鈍角。所以二級分類共得到四種不同的情況，如圖4所示。分類求解。
解決的具體思路是：先就圖4(1)求解，再變式為圖4(2)，比較異同求解;之後就圖4(3)求解，再變式為圖4(4)，類
比求解。
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