第二屆華盃賽初賽試題答案
參考答案
第二屆華盃賽初賽試題答案：1.第八屆 2.11 3.121 4.1981 5.58% 6.0 7.13.42 8.
9.第三個 10.3點鐘 11.13 12.36人 13.第十次交換座位後，小兔坐在第2號位子
14.能排成4個被11除餘8的數 15.100個
1.【解】“每隔一年舉行一次”的意思是每兩年舉行1次。1988年到2000年還有2000-1988=12年，因此還要舉行12÷2=6屆。1988年是第二屆，所以2000年是1+6=8屆。
這題目因為數字不大，直接數也能很快數出來：1988、1990、1992、1994、1996、1998、2000年分別是第二、三、四、五、六、七、八屆.
答：2000年舉行第八屆.
【注】實際上，第三屆在1991年舉行的，所以2001年是第八屆.
2.【解】由於兩隻螞蟻的速度相同，所以大、小圓上的螞蟻爬一圈的時間的比應該等於圈長的比.而圈長的比又等於半徑的比，即：33∶9.
要問兩隻螞蟻第一次相遇時小圓上的螞蟻爬了幾圈，就是要找一個最小的時間它是大、小圓上螞蟻各自爬行一圈所需時間的整數倍.適當地選取時間單位，使小圓上的螞蟻爬一圈用9個單位的時間，而大圓上的螞蟻爬一圈用33個單位的時間.這樣一來，問題就化為求9和33的最小公倍數的問題了.不難算出9和33的最小公倍數是99，所以答案為99÷9=11.
答：小圓上的螞蟻爬了11圈後，再次碰到大圓上的螞蟻.
3.【解】把棋盤分割成一個平行四邊形和四個小三角形，如下圖。平行四邊形中棋孔數為9×9=81，每個小三角形中有10個棋孔。所以棋孔的總數是81+10×4=121(個)
答：共有121個棋孔
4.【解】由於得數有兩位小數，小數點不可能加在個位數之前.如果小數點加在十位數之前，所得的數是原來四位數的百分之一，再加上原來的四位數，得數2000.81應該是原來四位數的1.01倍，原來的四位數是2000.81÷1.01=1981.
類似地，如果小數點加在百位數之前，得數2000.81應是原來四位數的1.001倍，小數點加在千位數之前，得數2000.81應是原來四位數的1.0001倍.但是(2000.81÷1.001)和(2000.81÷1.0001)都不是整數，所以只有1981是唯一可能的答案.
答：這個四位數是1981.
【又解】注意到在原來的四位數中，一定會按順序出現8，1兩個數字.小數點不可能加在個位數之前;也不可能加在千位數之前，否則原四位數只能是8100，大於2000.81了.
無論小數點加在十位數還是百位數之前，所得的數都大於1而小於100.這個數加上原來的四位數等於2000.81，所以原來的四位數一定比2000小，但比1900大，這說明它的前兩個數字必然是1，9.由於它還有8，1兩個連續的數字，所以只能是1981.
5.【解】格子布的面積是下圖面積的9倍，格子布白色部分的面積也是圖上白色面積的9倍，下圖中白色部分所佔面積的百分比是：
=0.58=58%
答：格子布中白色部分的面積是總面積的58%.
6.【解】因為差的首位是8，所以被減數首位是9，減數的首位是1。第二位上兩數的差是9，所以被減數的第二位是9，減數的第二位是0。於是這六個方框中的數字的連乘積等於0。
答：六個方框中的數字的連乘積等於0.
7.【解】每個圓和正方形的公共部分是一個扇形，它的面積是圓的面積的四分之一.因此，整個圖形的面積等於正方形的面積加上四塊四分之三個圓的面積.而四塊四分之三個圓的面積等於圓面積的三倍.於是整個圖形的面積等於正方形的面積加上圓面積的三倍.也就是2×2+π×1×1×3≈13.42(平方米)
答：這個正方形和四個圓蓋住的面積約是13.42平方米.
8.【解】(米).
答：七根竹竿的總長是米.
【又解】我們這樣考慮：取一根2米長的.竹竿，把它從中截成兩半，各長1米.取其中一根作為第一根竹竿.將另外一根從中截成兩半，取其中之一作為第二根竹竿.如此進行下去，到截下第七根竹竿時，所剩下的一段竹竿長為：(米)，因此，七根竹竿的總長度是2米減去剩下一段的長，也就是答：七根竹竿的總長是米.
9.【解】梯形的面積=(上底+下底)×高-2.但我們現在是比較三個梯形面積的大小，所以不妨把它們的面積都乘以2，這樣只須比較(上底+下底)×高的大小就行了.我們用乘法分配律：
第一個梯形的面積的2倍是：(2.12+3.53)×2.71=2.12×2.7I+3.53×2.71，
第二個梯形的面積的2倍是：(2.7l+3.53)×2.12=2.71×2.12+3.53×2.12，
第三個梯形的面積的2倍是：(2.12+2.71)×3.53=2.12×3.53+2.7I×3.53
先比較第一個和第二個兩個式子右邊的第一個加數，一個是2.12×2.71，
另一個是2.71×2.12由乘法交換律，這兩個積相等因此只須比較第二個加數的大小就行了，顯然3.53×2.71比3.53×2.12大，因為2.71比2.12大因此第一個梯形比第二個梯形的面積大.類似地，如果比較第一個和第三個，我們發現它們右邊第二個加數相等.而第一個加數2.12×2.71<2.12×3.53.因此第三個梯形比第一個梯形面積大.綜上所述，第三個梯形面積最大.
答：第三個梯形面積最大.
10.【解】因為電子鐘每到整點響鈴，所以我們只要考慮哪個整點亮燈就行了.從中午12點起，每9分鐘亮一次燈，要過多少個9分鐘才到整點呢?由於1小時=60分鐘，這個問題換句話說就是：9分鐘的多少倍是60分鐘的整數倍呢?即求9分和60最小公倍數.9和60的最小公倍數是180.這就是說，從正午起過180分鐘，也就是3小時，電子鐘會再次既響鈴又亮燈.
答：下一次既響鈴又亮燈時是下午3點鐘.
11.【解】每種花色各選3張，一共12張，可見抽12張牌不能保證有4張牌是同一花色的.
如果抽13張牌，由於花色只有4種，其中必有一種多於3張，即必有4張牌同一花色.
答：至少要抽13張牌，才能保證有四張牌是同一花色的.
12.【解】先增加一條船，那麼正好每條船坐6人.然後去掉兩條船，就會餘下6×2=12名同學，改為每條船9人，也就是說，每條船增加9-6=3人,正好可以把餘下的12名同學全部安排上去，所以現在還有12÷3=4條船，而全班同學的人數是9×4=36人
【又解】由題目的條件可知，全班同學人數既是6的倍數，又是9的倍數，因而是6和9的公倍數.6和9的最小公倍數是18.如果總數是18人，那麼每船坐6人需要有18÷6=3條船，而每船坐9人需要18÷9=2條船，就是說，每船坐6人比每船坐9人要多一條船.但由題目的條件，每船坐6人比每船坐9人要多用2條船.可見總人數應該是18×2=36.
答：這個班共有36個人
13.【解】根據題意將小兔座位變化的規律找出來.
可以看出：每一次交換座位，小兔的座位按順時針方向轉動一格，每4次交換座位，小兔的座位又轉回原處.知道了這個規律，答案就不難得到了.第十次交換座位後，小兔的座位應該是第2號位子.
答：第十次交換座位後，小兔坐在第2號位子.
14.【解】用1、9、8、8可排成12個四位數，即1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，8918，8981，8819，8891
它們減去8變為1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973，8811，8883
其中被11整除的僅有1980，1881，8910，8811，即用1、9、8、8可排成4個被1除餘8的四位數，即1988，1889，8918，8819.
【又解】什麼樣的數能被11整除呢?一個判定法則是：比較奇位數字之和與偶位數字之和，如果它們之差能被11除盡，那麼所給的數就能被11整除，否則就不能夠.
現在要求被11除餘8，我們可以這樣考慮：這樣的數加上3後，就能被11整除了.所以我們得到“一個數被11除餘8”的判定法則：將偶位數字相加得一個和數，再將奇位數字相加再加上3，得另一個和數，如果這兩個和數之差能被11除盡，那麼這個數是被11除餘8的數;否則就不是.
要把1、9、8、8排成一個被11除餘8的四位數，可以把這4個數分成兩組，每組2個數字.其中一組作為千位和十位數，它們的和記作A;另外一組作為百位和個位數，它們之和加上3記作B.我們要適當分組，使得能被11整除.現在只有下面4種分組法：
經過驗證，第(1)種分組法滿足前面的要求：A=1+8，B=9+8+3=20，B-A=11能被11除盡.但其餘三種分組都不滿足要求.
根據判定法則還可以知道，如果一個數被11除餘8，那麼在奇位的任意兩個數字互換，或者在偶位的任意兩個數字互換，得到的新數被11除也餘8.於是，上面第(1)分組中，1和8中任一個可以作為千位數，9和8中任一個可以作為百位數.這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918，8819.
答：能排成4個被11除餘8的數
15.【解】我們先在右圖小正方形中找一個代表點，例如右下角的點E作為代表點.然後將小正方形按題意放在圍棋盤上，仔細觀察點E應在什麼地方.透過觀察，不難發現：
(1)點E只能在棋盤右下角的正方形ABCD(包括邊界)的格子點上.
(2)反過來，右下角正方形ABCD中的每一個格子點都可以作為小正方形的點E，也只能作為一個小正方形的點E.這樣一來，就將“小正方形的個數”化為“正方形ABCD中的格子點個數”了.很容易看出正方形ABCD中的格子點為10×10=100個.
答：共有100個。