多項式函式及其根
給出多項式f∈R[x1,...,xn]以及一個R-代數A。對(a1，...，an)∈An，我們把f中的xj都換成aj，得出一個A中的元素，記作f(a1...an)。如此，f可看作一個由An到A的函式。
若然f(a1...an)=0，則(a1...an)稱作f的根或零點。
例如f=x^2 1。若然考慮x是實數、複數、或矩陣，則f會無根、有兩個根、及有無限個根！
例如f=x-y。若然考慮x是實數或複數，則f的零點集是所有(x,x)的集合，是一個代數曲線。事實上所有代數曲線由此而來。
另外，若所有係數為實數多項式P(x)有複數根Z，則Z的共軌複數也是根。
若P（x）有n個重疊的根，則P‘(x)有n-1個重疊根。即若P(x)=(x-a)^nQ(x)，則有a是P’(x)的重疊根且有n-1個。
有理根定理應用
為了確定一個多項式是否有任何有理根，使用該定理，如果是這樣就可以找出它們。 由於定理給出了完全減少的有理根的分子和分母作為某些數的`除數的約束，所以可以檢查除數的所有可能的組合，或者找出合理的根，或者確定沒有一個。 如果找到一個或多個，則可以將它們從多項式中分解出來，導致較低程度的多項式，其根也是原始多項式的根。