第三屆華盃賽決賽一試試題答案
參考答案
第三屆華盃賽決賽一試試題答案:1.原式等於2.360的約數有24個,這些約數的和是1170
3.在第3939行中,自左至右第1949個
4.至少要畫10條直線
5.8倍
6.剩下124枚白子
1.【解】原式===2.【解】360=2×2×2×3×3×5=23×32×5
所以360有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24個約數
約數的和是
(1+2+22+23)×(1十3+32)×(1十5)=1170
3.【解】我們先注意,第一行的每個數的分子、分母之和等於2,第二行的每個數的分子、分母之和等於3,…,第五行的每個數的分子、分母之和等於6。由此可看到一個規律,就是每行各數的分子、分母之和等於行數加1.
其次,很明顯可以看出,每行第一個數的分母是1,第二個數的分母是2.…,即自左起第幾個數的分母就是幾.
因此,所在的行數等於1991+1949-1=3939。而在第3939行中,位於自左至右第1949個.
4.【解】我們來一條一條地畫直線.畫第一條直線將圓形紙片劃分成2塊。畫第二條直線,如果與第一條直線在圓內相交,則將圓形紙片劃分成4塊(增加了2塊),否則只能劃分成3塊。類似地,畫第三條直線,如果與前兩條直線都在圓內相交,且交點互不相同(即沒有3條直線交於一點),則將圓形紙片劃分成7塊(增加了3塊),否則劃分的塊數少於7塊。下圖是畫3條直線的各種情形
由此可見,若希望將紙片劃分成儘可能多的塊教,應該使新畫出的直線與原有的直線都在圓內相交,且交點互不相同。這時增加的塊數等於直線的條數。這樣劃分出的.塊數,列表如下:
直線條數紙片最多劃分成的塊數
1 1+1
2 1+1+2
3 1+1+2+3
5 1+1+2+3+4
5 1+1+2+3+4+5
不難看出,表中每行右邊的數等於1加上從1到行數的所有整數的和。因為1+1+2+3+…+10=56,1+1+2+3+…+9=46,可見第9行右邊還不到50,而第10行右邊已經超過50了.
答:至少要畫10條直線.
5.【解】我們先畫一個圖如下,其中A是學校,B是工廠,C是汽車和勞模相遇的地點。
汽車從A到B往返需1小時,即從A到B需30分鐘,汽車從A到C往返用了40分鐘,即從A到C需20分鐘,從而從C到B需
30-20=10(分鐘)。因為汽車到達C點是2點20分,所以勞模從B到C共用
60+20=80(分鐘),從而汽車速度是勞模步行速度的8(=80÷10)倍。
6.【解】由於1990是偶數,在第一圈操作中,一共取走=995枚白子,其中最後取的是黑子前面的一個子(即反時針方向第一個子)。這時還剩下995枚白子.下一次取走黑子後面一個子(即順時針方向第一個)。由於995是奇數,第二圈操作最後取的仍是黑子前面的一個子,共取走=498枚白子,還剩下497枚白子。類似地,第三圈操作取走=249枚白子,還剩下248枚白子。由於248是偶數,第四圈操作最後取走黑子,這時圓周上還剩下=124枚白子
答.圓周上還剩下124枚白子