數學高考一輪複習基本不等式專項練習及答案
1.若xy0，則對 xy+yx說法正確的是()
A.有最大值-2 B.有最小值2
C.無最大值和最小值 D.無法確定
答案：B
2.設x，y滿足x+y=40且x，y都是正整數，則xy的最大值是()
A.400 B.100
C.40 D.20
答案：A
3.已知x2，則當x=____時，x+4x有最小值____.
答案：2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)當x0時，求f(x)的最小值;
(2)當x0 時，求f(x)的最大值.
解：(1)∵x0，12x，4x0.
12x+4x212x4x=83.
當且僅當12x=4x，即x=3時取最小值83，
當x0時，f(x)的最小值為83.
(2)∵x0，-x0.
則-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，
當且僅當12-x=-4x時，即x=-3時取等號.
當x0時，f(x)的最大值為-83.
一、選擇題
1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的'是()
A.x+12x B.x2-1+1x2-1
C.2x+2-x D.x(1-x)
答案：C
2.函式y=3x2+6x2+1的最小值是()
A.32-3 B.-3
C.62 D.62-3
解析：選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.
3.已知m、nR，mn=100，則m2+n2的最小值是()
A.200 B.100
C.50 D.20
解析：選A.m2+n22mn=200，當且僅當m=n時等號成立.
4.給出下面四個推導過程：
①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba
②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx
③∵aR，a0，4a+a 24a
④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.
其中正確的推導過程為()
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮.
①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合基本不等式的條件，故①的推導過程正確;
②雖然x，y(0，+)，但當x(0,1)時，lgx是負數，y(0,1)時，lgy是負數，②的推導過程是錯誤的;
③∵aR，不符合基本不等式的條件，
4a+a24aa=4是錯誤的;
④由xy0得xy，yx均為負數，但在推導過程中將全體xy+yx提出負號後，(-xy)均變為正數，符合基本不等式的條件，故④正確.
5.已知a0，b0，則1a+1b+2ab的最小值是()
A.2 B.22
C.4 D.5
解析：選C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.當且僅當a=bab=1時，等號成立，即a=b=1時，不等式取得最小值4.
6.已知x、y均為正數，xy=8x+2y，則xy有()
A.最大值64 B.最大值164
C.最小值64 D.最小值164
解析：選C.∵x、y均為正數，
xy=8x+2y28x2y=8xy，
當且僅當8x=2y時等號成立.
xy64.
二、填空題
7.函式y=x+1x+1(x0)的最小值為________.
答案：1
8.若x0，y0，且x+4y=1，則xy有最________值，其值為________.
解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.
答案：大 116
9.(2010年高考山東卷)已知x，yR+，且滿足x3+y4=1，則xy的最大值為________.
解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.
當且僅當x3=y4時取等號.
答案：3
三、解答題
10.(1)設x-1，求函式y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函式y=x2+8x-1(x1)的最值.
解：(1)∵x-1，x+10.
y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
2 x+14x+1+5=9，
當且僅當x+1=4x+1，即x=1時，取等號.
x=1時，函式的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.
(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.
當且僅當x-1=9x-1，即x=4時等號成立，
y有最小值8.
11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求證：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.
證明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，
1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，
同理1b-12acb，1c-12abc，
以上三個不等式兩邊分別相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.
當且僅當a=b=c時取等號.
12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級汙水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計).
問：汙水處理池的長設計為多少米時可使總價最低.
解：設汙水處理池的長為x米，則寬為200x米.
總造價f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200
=800(x+225x)+12000
1600x225x+12000
=36000(元)
當且僅當x=225x(x0)，
即x=15時等號成立.