八年級數學上冊知識點總結資料

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八年級數學上冊知識點總結（新人教版）

第十三章 軸對稱

一、軸對稱圖形

1. 把一個圖形沿著一條直線摺疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那麼這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關於這條直線（成軸）對稱。

2. 把一個圖形沿著某一條直線摺疊，如果它能與另一個圖形完全重合，那麼就說這兩個圖關於這條直線對稱。這條直線叫做對稱軸。摺疊後重合的點是對應點,叫做對稱點

3、軸對稱圖形和軸對稱的區別與聯絡

4.軸對稱的性質

①關於某直線對稱的兩個圖形是全等形。

②如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。

③軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。

④如果兩個圖形的對應點連線被同條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱。

二、線段的垂直平分線

1. 經過線段中點並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。

2.線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等

3.與一條線段兩個端點距離相等的點，線上段的垂直平分線上

三、用座標表示軸對稱小結：

在平面直角座標系中，關於x軸對稱的點橫座標相等,縱座標互為相反數.關於軸對稱的點橫座標互為相反數,縱座標相等.

2.三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等

四、（等腰三角形)知識點回顧

1.等腰三角形的性質

①.等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等角）

②.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）

2、等腰三角形的判定：

如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等。（等角對等邊）

五、（等邊三角形）知識點回顧

1.等邊三角形的性質：

等邊三角形的三個角都相等，並且每一個角都等於600 。

2、等邊三角形的判定：

①三個角都相等的三角形是等邊三角形。

②有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形。

3.在直角三角形中，如果一個銳角等於300，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。

1、等腰三角形的性質

（1）等腰三角形的性質定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊並且垂直於底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個角都相等，並且每個角都等於60°。

（2）等腰三角形的其他性質：

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等於45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

③等腰三角形的三邊關係：設腰長為a，底邊長為b，則

④等腰三角形的三角關係：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

定理：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用於證明同一個三角形中的邊相等。

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。

等腰三角形的性質與判定

等腰三角形性質

等腰三角形判定

中線

1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；

2、等腰三角形兩腰上的中線相等，並且它們的交點與底邊兩端點距離相等。

1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；

2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個邊的對角），那麼這個三角形是等腰三角形

角平分線

1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；

2、等腰三角形兩底角平分線相等，並且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。

1、如果三角形的頂角平分線垂直於這個角的對邊（平分對邊），那麼這個三角形是等腰三角形；

2、三角形中兩個角的平分線相等，那麼這個三角形是等腰三角形。

高線

1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；

2、等腰三角形兩腰上的高相等，並且它們的交點和底邊兩端點距離相等。

1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對角），那麼這個三角形是等腰三角形；

2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。

角

等邊對等角

等角對等邊

邊

底的一半<腰長<周長的一半

兩邊相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位線

連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

（1）三角形共有三條中位線，並且它們又重新構成一個新的三角形。

（2）要會區別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關係：可以證明兩條直線平行。

數量關係：可以證明線段的倍分關係。

常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

第十四章 整式乘除與因式分解

一．回顧知識點

1、主要知識回顧：

冪的運算性質：

a·an＝a＋n （、n為正整數）

同底數冪相乘，底數不變，指數相加．

＝ an （、n為正整數）

冪的乘方，底數不變，指數相乘．

（n為正整數）

積的乘方等於各因式乘方的積．

＝ a－n （a≠0，、n都是正整數，且＞n）

同底數冪相除，底數不變，指數相減．

零指數冪的概念：

a0＝1 （a≠0）

任何一個不等於零的數的零指數冪都等於l．

負指數冪的概念：

a－p＝ （a≠0，p是正整數）

任何一個不等於零的數的－p（p是正整數）指數冪，等於這個數的p指數冪的倒數．

也可表示為：（≠0，n≠0，p為正整數）

單項式的乘法法則：

單項式相乘，把係數、同底數冪分別相乘，作為積的因式；對於只在一個單項式裡含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．

單項式與多項式的乘法法則：

單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．

多項式與多項式的乘法法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．

單項式的除法法則：

單項式相除，把係數、同底數冪分別相除，作為商的因式：對於只在被除式裡含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．

多項式除以單項式的法則：

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．

2、乘法公式：

①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

文字語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等於這兩個數的平方差．

②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（a－b）2＝a2－2ab＋b2

文字語言敘述：兩個數的和（或差）的平方等於這兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍．

3、因式分解：

因式分解的定義．

把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．

掌握其定義應注意以下幾點：

（1）分解物件是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的'因式必須是整式，這三個要素缺一不可；

（2）因式分解必須是恆等變形；

（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．

弄清因式分解與整式乘法的內在的關係．

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．

二、熟練掌握因式分解的常用方法．

1、提公因式法

（1）掌握提公因式法的概念；

（2）提公因式法的關鍵是找出公因式，公因式的構成一般情況下有三部分：①係數一各項係數的最大公約數；②字母——各項含有的相同字母；③指數——相同字母的最低次數；

（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式並確定另一因式．需注意的是，提取完公因式後，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項．

（4）注意點：①提取公因式後各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項式的第一項的係數是負的，一般要提出“－”號，使括號內的第一項的係數是正的．

2、公式法

運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用；

常用的公式：

①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）

②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2

a2－2ab＋b2＝（a－b）2

第十五章 分式

知識點一：分式的定義

一般地，如果A，B表示兩個整數，並且B中含有字母，那麼式子叫做分式，A為分子，B為分母。

知識點二：與分式有關的條件

①分式有意義：分母不為0（）

②分式無意義：分母為0（）

③分式值為0：分子為0且分母不為0（）

④分式值為正或大於0：分子分母同號（或）

⑤分式值為負或小於0：分子分母異號（或）

⑥分式值為1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值為-1：分子分母值互為相反數（A+B=0）

知識點三：分式的基本性質

分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等於0的整式，分式的值不變。

字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即

注意：在應用分式的基本性質時，要注意C0這個限制條件和隱含條件B0。

知識點四：分式的約分

定義：根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

步驟：把分式分子分母因式分解，然後約去分子與分母的公因。

注意：①分式的分子與分母為單項式時可直接約分，約去分子、分母系數的最大公約數，然後約去分子分母相同因式的最低次冪。

②分子分母若為多項式，約分時先對分子分母進行因式分解，再約分。

知識點四：最簡分式的定義

一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。

知識點五：分式的通分

① 分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

② 分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。

最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。

確定最簡公分母的一般步驟：

Ⅰ 取各分母系數的最小公倍數；

Ⅱ 單獨出現的字母（或含有字母的式子）的冪的因式連同它的指數作為一個因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數最大的。

Ⅳ 保證凡出現的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要取。

注意：分式的分母為多項式時，一般應先因式分解。

知識點六分式的四則運算與分式的乘方

① 分式的乘除法法則：

分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：

分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置後，與被除式相乘。式子表示為

② 分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子

③ 分式的加減法則：

同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為

異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然後再加減。式子表示為

整式與分式加減法：可以把整式當作一個整數，整式前面是負號，要加括號，看作是分母為1的分式，再通分。

④ 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運算的運算順序

先乘方、再乘除、後加減，同級運算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號裡面的，也要注意靈活，提高解題質量。

注意：在運算過程中，要明確每一步變形的目的和依據，注意解題的格式要規範，不要隨便跳步，以便查對有無錯誤或分析出錯的原因。

加減後得出的結果一定要化成最簡分式（或整式）。

知識點六整數指數冪

① 引入負整數、零指數冪後，指數的取值範圍就推廣到了全體實數，並且正正整數冪的法則對對負整數指數冪一樣適用。即

科學記數法

若一個數x是0的數，則可以表示為（，即a的整數部分只有一位，n為整數）的形式，n的確定n=從左邊第一個0起到第一個不為0的數為止所有的0的個數的相反數。如0.000000125=

若一個數x是x>10的數則可以表示為（，即a的整數部分只有一位，n為整數）的形式，n的確定n=比整數部分的數位的個數少1。如120 000 000=

知識點七分式方程的解的步驟

⑴去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產生增根的過程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：

如果最簡公分母為0，則原方程無解，這個未知數的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為0，則是原方程的解。

產生增根的條件是：①是得到的整式方程的解；②代入最簡公分母后值為0。

知識點八列分式方程

基本步驟

① 審—仔細審題，找出等量關係。

② 設—合理設未知數。

③ 列—根據等量關係列出方程（組）。

④ 解—解出方程（組）。注意檢驗

⑤ 答—答題。