《函式的對稱性》高一數學知識點總結
一、 函式自身的對稱性探究
定理1.函式 = f (x)的影象關於點A (a ,b)對稱的充要條件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
證明：（必要性）設點P(x ,)是 = f (x)影象上任一點，∵點P( x ,)關於點A (a ,b)的對稱點P'（2a－x，2b－）也在 = f (x)影象上，∴ 2b－ = f (2a－x)
即 + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。
（充分性）設點P(x0,0)是 = f (x)影象上任一點，則0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－0 = f (2a－x0) 。
故點P'（2a－x0，2b－0）也在 = f (x) 影象上，而點P與點P'關於點A (a ,b)對稱，充分性得徵。
推論：函式 = f (x)的影象關於原點O對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函式 = f (x)的影象關於直線x = a對稱的充要條件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （證明留給讀者）
推論：函式 = f (x)的影象關於軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函式 = f (x) 影象同時關於點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則 = f (x)是週期函式，且2 a－b是其一個週期。
②若函式 = f (x) 影象同時關於直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則 = f (x)是週期函式，且2 a－b是其一個週期。
③若函式 = f (x)影象既關於點A (a ,c) 成中心對稱又關於直線x =b成軸對稱（a≠b），則 = f (x)是週期函式，且4 a－b是其一個週期。
①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
∵函式 = f (x)影象既關於點A (a ,c) 成中心對稱，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函式 = f (x)影象直線x =b成軸對稱，
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x],故 = f (x)是週期函式，且4 a－b是其一個週期。
二、 不同函式對稱性的探究
定理4. 函式 = f (x)與 = 2b－f (2a－x)的影象關於點A (a ,b)成中心對稱。
定理5. ①函式 = f (x)與 = f (2a－x)的影象關於直線x = a成軸對稱。
②函式 = f (x)與a－x = f (a－)的影象關於直線x + = a成軸對稱。
③函式 = f (x)與x－a = f ( + a)的影象關於直線x－ = a成軸對稱。
定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③
設點P(x0 ,0)是 = f (x)影象上任一點，則0 = f (x0)。記點P( x ,)關於直線x－ = a的`軸對稱點為P'（x1， 1），則x1 = a + 0 , 1 = x0－a ，∴x0 = a + 1 , 0= x1－a 代入0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + 1) ∴點P'（x1， 1）在函式x－a = f ( + a)的影象上。
同理可證：函式x－a = f ( + a)的影象上任一點關於直線x－ = a的軸對稱點也在函式 = f (x)的影象上。故定理5中的③成立。
推論：函式 = f (x)的影象與x = f ()的影象關於直線x = 成軸對稱。
三、 三角函式影象的對稱性列表
注：①上表中∈Z
② = tan x的所有對稱中心座標應該是(π/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊（下）及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案（修訂版）中都認為 = tan x的所有對稱中心座標是( π, 0 )，這明顯是錯的。
四、 函式對稱性應用舉例
例1：定義在R上的非常數函式滿足：f (10+x)為偶函式，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ） （第十二屆希望杯高二 第二試題）
(A)是偶函式，也是週期函式 (B)是偶函式，但不是週期函式
(C)是奇函式，也是週期函式 (D)是奇函式，但不是週期函式
解：∵f (10+x)為偶函式，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個週期的週期函式， ∴x =0即軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函式。
故選(A)
例2：設定義域為R的函式 = f (x)、 = g(x)都有反函式，並且f(x－1)和g-1(x－2)函式的影象關於直線 = x對稱，若g(5) = 1999，那麼f(4)=（ ）。
（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵ = f(x－1)和 = g-1(x－2)函式的影象關於直線 = x對稱，
∴ = g-1(x－2) 反函式是 = f(x－1)，而 = g-1(x－2)的反函式是: = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,應選（C）
例3.設f(x)是定義在R上的偶函式，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，
f (x) = － x，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二 第一試題）
解：∵f(x)是定義在R上的偶函式∴x = 0是 = f(x)對稱軸；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是 = f (x) 對稱軸。故 = f(x)是以2為週期的週期函式，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
例4.函式 = sin (2x + )的影象的一條對稱軸的方程是（ ）(92全國高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =
解：函式 = sin (2x + )的影象的所有對稱軸的方程是2x + = +
∴x = － ,顯然取 = 1時的對稱軸方程是x = － 故選(A)
例5. 設f(x)是定義在R上的奇函式，且f(x+2)= －f(x),當0≤x≤1時，
f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5
解：∵ = f (x)是定義在R上的奇函式，∴點（0，0）是其對稱中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直線x = 1是 = f (x) 對稱軸，故 = f (x)是週期為2的週期函式。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故選(B)