關於數學的期末考試試卷
第Ⅰ卷 (選擇題 共50分)
一、選擇 題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中有且只有一項是符合題目要求的，把答案填在答題卡的相應位置。
1.已知平面向量 ， ，且 ，則實數 的值為
A. B. C. D.
2.設集合 ， ，若 ，則實數 的值為
A. B. C. D.
3.已知直線 平面 ,直線 ,則 是 的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4. 定義： .若複數 滿足 ，則 等於
A. B. C. D.
5.函式 在 處的切線方程是
A. B. C. D.
6. 某程式框圖如右圖所示，現輸入如下 四個函式，
則可以輸出的函式是
A. B. C. D.
7. 若函式 的圖象(部分)如圖所示，
則 和 的取值是
A. B.
C. D.
8. 若函式 的零點與 的零點之差的絕對值不超過 ，則 可以是
A. B. C. D.
9.已知 ，若方程 存在三個不等的實根 ，則 的取值範圍是
A. B. C. D.
10.已知集合 , 。若存在實數 使得 成立,稱點 為￡點，則￡點在平面區域 內的個數是
A. 0 B.1 C .2 D. 無數個
第二卷(非選擇題共100分)
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分. 把答案填在答題卡上.
11. 已知隨機變數 ，若 ，則 等於 ******.
12.某幾何體的三檢視如下右圖所示，則這個幾何體的體積是 ****** .
13. 已知拋物線 的準線 與雙曲線 相切，
則雙曲線 的離心率 ****** .
14.在平面直角座標系中,不等式組 所表示的平面區域的面積是9，則實數 的值為 ****** .
15. 已知不等式 ，若對任意 且 ，該不等式恆成立，則實
數 的取值範圍是 ****** .
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16.(本小題滿分13分)
在等差數列 中， ，其前 項和為 ，等比數列 的各項均為正數， ，公比為 ，且 ， .
(Ⅰ)求 與 ;
(Ⅱ)證明： .
17. (本小題滿分13分)
已知向量
(Ⅰ)求 的解析式;
(Ⅱ)求由 的圖象、 軸的正半軸及 軸的正半軸三者 圍成圖形的面積。
18. (本小題滿分13分)圖一，平面四邊形 關於直線 對稱， ， ， .把 沿 折起(如圖二)，使二面角 的餘弦值等於 .
對於圖二，完成以下各 小題：
(Ⅰ)求 兩點間的距離;
(Ⅱ)證明： 平面 ;
(Ⅲ)求直線 與平面 所成角的正弦值.
19. (本小題滿分13分) 二十世紀50年代，日本熊本縣水俁市的許多居民都患了運動失調、四肢麻木等症狀，人們把它稱為水俁病.經調查發現一家工廠排出的廢水中含有甲基汞，使魚類受到汙染.人們長期食用含高濃度甲基汞的魚類引起汞中毒. 引起世人對食品安全的關注.《中華人民共和國環境保護法》規定食品的汞含量不得超過1.00ppm.
羅非魚是體型較大，生命週期長的食肉魚，其體內汞含量比其他魚偏高.現從一批羅非魚中隨機地抽出15條作樣本，經檢測得各條魚的汞含量的莖葉圖(以小數點前一位數字為莖，小數點後一位數字為葉)如下：
(Ⅰ)若某檢查人員從這15條魚中，隨機地抽出3條，求恰有1條魚汞含量超標的機率;
(Ⅱ)以此15條魚的樣本資料.若從這批數量很大的魚中任選3條魚，記表示抽到的魚汞含量超標的條數，求的分佈列及E
20. (本小題滿分14分)
已知焦點在 軸上的橢圓 過點 ，且離心率為 , 為橢圓 的左頂點.
(1)求橢圓 的標準方程;
(2)已知過點 的直線 與橢圓 交於 ， 兩點.
① 若直線 垂直於 軸，求 的大小;
② 若直線 與 軸不 垂直，是否存在直線 使得 為等腰三角形?如果存在，求出直線 的`方程;如果不存在，請說明理由.
21. (本小題共14分)
已知 是由滿足下述條件的函式構成的集合：對任意 ，
① 方程 有實數根;② 函式 的導數 滿足 .
普通高中20122013中聯合考試
高三數
解答題
16.解：(Ⅰ)設 的公差為 ，。
因為 所以 3分
解得 或 (舍)， .。
故 ， .6分
(Ⅱ)因為 。
所以 .9分
故
11分
因為 ，所以 ，於是 ，。
所以 .
即 13分
17.解：(Ⅰ) 2分
4分
6分
，
。 7分
(Ⅱ)令 =0,解得
易知 的圖象與 軸正半軸的第一個交點為 。 9分
所以 的圖象、 軸的正半軸及形的面積
。11分
13分
18.解：(Ⅰ)取 的中點 ，連線 ，
由 ，得：
就是二面角 的平面角，即 2分
在 中，解得 ，又
，解得 。 4分
(Ⅱ)由 ，
， ，
， 又 ， 平面 .8分
(Ⅲ)方法一：由(Ⅰ)知 平面 ， 平面
平面 平面 ，平面 平面 ，
就是 與平面 所成的角。11分
.13分
方 法二：設點 到平面 的距離為 ，。
∵ ， ，
， 11分
於是 與平面 所成角 的正弦為 .13分
方法三：以 所在直線分別為 軸， 軸和 軸建立空間直角座標系 ，。
則 .
設平面 的法向量為 ，則
， ， ， ，
取 ，則 ， 11分
於是 與平面 所成角 的正弦 .13分
19.解：(I)記15條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標為事件A
則 .
15條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標的機率為 5分
(II)解法一：依題意可知，這批羅非魚中汞含量超標的魚的機率P= ，7分
所有的取值為0，1，2，3，其分佈列如下：
0123
P()
11分
所以～ ， 12分
所以E=1. 13分
解法 二：依題意可知，這批羅非魚中汞含量超標的魚的機率P= ， 7分
所有的取值為0，1，2，3，其分佈列如下：
0123
P()
11分
所以E= . 13分
20.解：(Ⅰ)設橢圓 的標準方程為 ，且 .
由題意可知： ， . 2分
解得 .
橢圓 的標準方程為 . 3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .設 .
(ⅰ)當直線 垂直於 軸時，直線 的方程為 .
由 解得： 或
即 (不妨設點 在 軸上方). 5分
則直線 的斜率 ，直線 的斜率 .
∵ ，得 .
. 6分
(ⅱ)當直線 與 軸不垂直時，由題意可設直線 的方程為 .
由 消去 得： .
因為 點 在橢圓 的內部，顯然 .
8分
因為 ， ， ，
所以
. 即 為直角三角形. 11分
假設存在直線 使得 為等腰三角形，則 .
取 的中點 ，連線 ，則 .
記點 為 .
另一方面，點 的橫座標 ，。
點 的縱座標 .
又
故 與 不垂直，矛盾.
所以 當直線 與 軸不垂直時，不存在直線 使得 為等腰三角形.
13分
21.解：(Ⅰ)因為①當 時， ，。
所以方程 有實數根0;
② ，
所以 ，滿足條件 ;
由①②，函式 是集合 中的元素. 5分
(Ⅱ)假設方程 存在兩個實數根 ， ，。
則 ， .
不妨設 ，根據題意存在 ，。
滿足 .
因為 ， ，且 ，所以 .
與已知 矛盾.又 有實數根，。
所以方程 有且只有一個實數根. 10分
(Ⅲ)當 時，結論顯然成立; 11分
當 ，不妨設 .
因為 ,且 所以 為增函式，那麼 .
又因為 ，所以函式 為減函式。