高一數學必修一函式影象知識點總結
高中數學因為知識點多，好多同學聽課能聽懂，但是做題卻不會。因此，經常性的複習是鞏固數學知識點的很好的途徑。以下是小編為您整理的關於高一數學必修一函式影象知識點的相關資料，供您閱讀。
高一數學必修一函式影象知識點總結 1
知識點總結：
本節知識包括函式的單調性、函式的奇偶性、函式的週期性、函式的最值、函式的對稱性和函式的圖象等知識點。函式的單調性、函式的奇偶性、函式的週期性、函式的最值、函式的對稱性是學習函式的圖象的基礎，函式的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點，函式的圖象就迎刃而解了。
一、函式的單調性
1、函式單調性的定義
2、函式單調性的判斷和證明：
(1)定義法
(2)複合函式分析法
(3)導數證明法
(4)圖象法
二、函式的奇偶性和週期性
1、函式的奇偶性和週期性的定義
2、函式的奇偶性的判定和證明方法
3、函式的週期性的判定方法
三、函式的圖象
1、函式圖象的作法
(1)描點法
(2)圖象變換法
2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。
常見考法
本節是段考和高考必不可少的考查內容，是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有，並且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數學的每一章聯合考查，多屬於拔高題。多考查函式的單調性、最值和圖象等。
誤區提醒
1、求函式的單調區間，必須先求函式的定義域，即遵循“函式問題定義域優先的原則”。
2、單調區間必須用區間來表示，不能用集合或不等式，單調區間一般寫成開區間，不必考慮端點問題。
3、在多個單調區間之間不能用“或”和“ ”連線，只能用逗號隔開。
4、判斷函式的奇偶性，首先必須考慮函式的定義域，如果函式的定義域不關於原點對稱，則函式一定是非奇非偶函式。
5、作函式的圖象，一般是首先化簡解析式，然後確定用描點法或圖象變換法作函式的圖象。
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一、函式的定義域的常用求法：
1、分式的分母不等於零;
2、偶次方根的被開方數大於等於零;
3、對數的真數大於零;
4、指數函式和對數函式的底數大於零且不等於1;
5、三角函式正切函式y=tanx中x≠kπ+π/2;
6、如果函式是由實際意義確定的解析式，應依據自變數的實際意義確定其取值範圍。
二、函式的解析式的常用求法：
1、定義法;
2、換元法;
3、待定係數法;
4、函式方程法;
5、引數法;
6、配方法
三、函式的值域的常用求法：
1、換元法;
2、配方法;
3、判別式法;
4、幾何法;
5、不等式法;
6、單調性法;
7、直接法
四、函式的最值的常用求法：
1、配方法;
2、換元法;
3、不等式法;
4、幾何法;
5、單調性法
五、函式單調性的常用結論：
1、若f(x),g(x)均為某區間上的增(減)函式，則f(x)+g(x)在這個區間上也為增(減)函式
2、若f(x)為增(減)函式，則-f(x)為減(增)函式
3、若f(x)與g(x)的單調性相同，則f[g(x)]是增函式;若f(x)與g(x)的單調性不同，則f[g(x)]是減函式。
4、奇函式在對稱區間上的單調性相同，偶函式在對稱區間上的單調性相反。
5、常用函式的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函式圖象。
六、函式奇偶性的常用結論：
1、如果一個奇函式在x=0處有定義，則f(0)=0，如果一個函式y=f(x)既是奇函式又是偶函式，則f(x)=0(反之不成立)
2、兩個奇(偶)函式之和(差)為奇(偶)函式;之積(商)為偶函式。
3、一個奇函式與一個偶函式的積(商)為奇函式。
4、兩個函式y=f(u)和u=g(x)複合而成的函式，只要其中有一個是偶函式，那麼該複合函式就是偶函式;當兩個函式都是奇函式時，該複合函式是奇函式。
5、若函式f(x)的定義域關於原點對稱，則f(x)可以表示為f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，該式的特點是：右端為一個奇函式和一個偶函式的和。
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1.函式的定義
函式是高考數學中的重點內容，學習函式需要首先掌握函式的各個知識點，然後運用函式的各種性質來解決具體的問題。
設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個函式，記作y=f(x),xA
2.函式的定義域
函式的定義域分為自然定義域和實際定義域兩種，如果給定的函式的解析式（不註明定義域），其定義域應指的是使該解析式有意義的自變數的取值範圍（稱為自然定義域），如果函式是有實際問題確定的，這時應根據自變數的實際意義來確定，函式的值域是由全體函式值組成的集合。
3.求解析式
求函式的解析式一般有三種種情況：
（1）根據實際問題建立函式關係式，這種情況需引入合適的變數，根據數學的有關知識找出函式關係式。
（2）有時體中給出函式特徵，求函式的解析式，可用待定係數法。
（3）換元法求解析式，f[h(x)]=g(x)求f(x)的問題，往往可設h(x)=t，從中解出x,代入g(x)進行換元來解。掌握求函式解析式的前提是，需要對各種函式的性質瞭解且熟悉。
目前我們已經學習了常數函式、指數與指數函式、對數與對數函式、冪函式、三角函式、反比例函式、二次函式以及由以上幾種函式加減乘除，或者複合的一些相對較複雜的函式，但是這種函式也是初等函式。
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（一）、對映、函式、反函式
1、對應、對映、函式三個概念既有共性又有區別，對映是一種特殊的對應，而函式又是一種特殊的對映。
2、對於函式的概念，應注意如下幾點：
（1）掌握構成函式的三要素，會判斷兩個函式是否為同一函式。
（2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變數間的函式關係式，特別是會求分段函式的解析式。
（3）如果y=f（u），u=g（x），那麼y=f[g（x）]叫做f和g的複合函式，其中g（x）為內函式，f（u）為外函式、
3、求函式y=f（x）的反函式的一般步驟：
（1）確定原函式的值域，也就是反函式的定義域；
（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；
（3）將x，y對換，得反函式的習慣表示式y=f—1（x），並註明定義域、
注意:
①對於分段函式的反函式，先分別求出在各段上的反函式，然後再合併到一起、
②熟悉的應用，求f—1（x0）的值，合理利用這個結論，可以避免求反函式的過程，從而簡化運算、
（二）、函式的解析式與定義域
1、函式及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函式是不存在的，因此，要正確地寫出函式的解析式，必須是在求出變數間的對應法則的同時，求出函式的定義域。求函式的定義域一般有三種類型：
（1）有時一個函式來自於一個實際問題，這時自變數x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮；
（2）已知一個函式的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：
①分式的分母不得為零；
②偶次方根的被開方數不小於零；
③對數函式的真數必須大於零；
④指數函式和對數函式的底數必須大於零且不等於1；
⑤三角函式中的正切函式y=tanx（x∈R，且k∈Z），餘切函式y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。
應注意，一個函式的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變數取值的公共部分（即交集）。
（3）已知一個函式的定義域，求另一個函式的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。
已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值範圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。
2、求函式的解析式一般有四種情況
（1）根據某實際問題需建立一種函式關係時，必須引入合適的變數，根據數學的有關知識尋求函式的解析式。
（2）有時題設給出函式特徵，求函式的解析式，可採用待定係數法。比如函式是一次函式，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定係數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可。
（3）若題設給出複合函式f[g（x）]的表示式時，可用換元法求函式f（x）的表示式，這時必須求出g（x）的值域，這相當於求函式的定義域。
（4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現其他未知量（如f（—x），等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表示式。
（三）、函式的值域與最值
1、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種方法求函式值域都應先考慮其定義域，求函式值域常用方法如下：
（1）直接法：亦稱觀察法，對於結構較為簡單的函式，可由函式的解析式應用不等式的.性質，直接觀察得出函式的值域。
（2）換元法：運用代數式或三角換元將所給的複雜函式轉化成另一種簡單函式再求值域，若函式解析式中含有根式，當根式裡一次式時用代數換元，當根式裡是二次式時，用三角換元。
（3）反函式法：利用函式f（x）與其反函式f—1（x）的定義域和值域間的關係，透過求反函式的定義域而得到原函式的值域，形如（a≠0）的函式值域可採用此法求得。
（4）配方法：對於二次函式或二次函式有關的函式的值域問題可考慮用配方法。
（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函式的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。
（6）判別式法：把y=f（x）變形為關於x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特徵是解析式中含有根式或分式。
（7）利用函式的單調性求值域：當能確定函式在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調性，可採用單調性法求出函式的值域。
（8）數形結合法求函式的值域：利用函式所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函式的值域，即以數形結合求函式的值域。
2、求函式的最值與值域的區別和聯絡
求函式最值的常用方法和求函式值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函式的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函式的最小（大）值。因此求函式的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異。
如函式的值域是（0，16]，最大值是16，無最小值。再如函式的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函式無最大值和最小值，只有在改變函式定義域後，如x>0時，函式的最小值為2。可見定義域對函式的值域或最值的影響。
3、函式的最值在實際問題中的應用
函式的最值的應用主要體現在用函式知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最小）”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變數的制約，以便能正確求得最值。
（四）、函式的奇偶性
1、函式的奇偶性的定義：對於函式f（x），如果對於函式定義域內的任意一個x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那麼函式f（x）就叫做奇函式（或偶函式）。
正確理解奇函式和偶函式的定義，要注意兩點：（1）定義域在數軸上關於原點對稱是函式f（x）為奇函式或偶函式的必要不充分條件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恆等式。（奇偶性是函式定義域上的整體性質）。
2、奇偶函式的定義是判斷函式奇偶性的主要依據。為了便於判斷函式的奇偶性，有時需要將函式化簡或應用定義的等價形式。
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一、函式的概念與表示
1、對映
(1)對映：設A、B是兩個集合，如果按照某種對映法則f，對於集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應(包括集合A、B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的對映，記作f：A→B。
注意點：
(1)對對映定義的理解。
(2)判斷一個對應是對映的方法。一對多不是對映，多對一是對映
2、函式
構成函式概念的三要素：
①定義域
②對應法則
③值域
兩個函式是同一個函式的條件：三要素有兩個相同
二、函式的解析式與定義域
1、求函式定義域的主要依據：
(1)分式的分母不為零;
(2)偶次方根的被開方數不小於零，零取零次方沒有意義;
(3)對數函式的真數必須大於零;
(4)指數函式和對數函式的底數必須大於零且不等於1;
三、函式的值域
1求函式值域的方法
①直接法：從自變數x的範圍出發，推出y=f(x)的取值範圍，適合於簡單的複合函式;
②換元法：利用換元法將函式轉化為二次函式求值域，適合根式內外皆為一次式;
③判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值範圍;適合分母為二次且∈R的分式;
④分離常數：適合分子分母皆為一次式(x有範圍限制時要畫圖);
⑤單調性法：利用函式的單調性求值域;
⑥圖象法：二次函式必畫草圖求其值域;
⑦利用對號函式
⑧幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函式
四.函式的奇偶性
1.定義:設y=f(x)，x∈A，如果對於任意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函式。
如果對於任意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇
函式。
2.性質：
①y=f(x)是偶函式y=f(x)的圖象關於軸對稱,y=f(x)是奇函式y=f(x)的圖象關於原點對稱,
②若函式f(x)的定義域關於原點對稱，則f(0)=0
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函式的定義域D1，D2，D1∩D2要關於原點對稱]
3.奇偶性的判斷
①看定義域是否關於原點對稱
②看f(x)與f(-x)的關係
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【—正比例函式公式】正比例函式要領：一般地，兩個變數x，y之間的關係式可以表示成形如y=kx(k為常數，且k≠0)的函式，那麼y就叫做x的正比例函式。
正比例函式的性質
定義域：R(實數集)
值域：R(實數集)
奇偶性：奇函式
單調性：
當>0時，影象位於第一、三象限，從左往右，y隨x的增大而增大(單調遞增)，為增函式;
當k<0時，影象位於第二、四象限，從左往右，y隨x的增大而減小(單調遞減)，為減函式。
週期性：不是週期函式。
對稱性：無軸對稱性，但關於原點中心對稱。
正比例函式影象的作法
1、在x允許的範圍內取一個值，根據解析式求出y的值;
2、根據第一步求的x、y的值描出點;
3、作出第二步描出的點和原點的直線(因為兩點確定一直線)。
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1、變數與常量
在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變數，數值保持不變的量叫做常量。
一般地，在某一變化過程中有兩個變數x與y，如果對於x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，那麼就說x是自變數，y是x的函式。
2、函式解析式
用來表示函式關係的數學式子叫做函式解析式或函式關係式。
使函式有意義的自變數的取值的全體，叫做自變數的取值範圍。
3、函式的三種表示法及其優缺點
（1）解析法
兩個變數間的函式關係，有時可以用一個含有這兩個變數及數字運算子號的等式表示，這種表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自變數x的一系列值和函式y的對應值列成一個表來表示函式關係，這種表示法叫做列表法。
（3）影象法
用影象表示函式關係的方法叫做影象法。
4、由函式解析式畫其影象的一般步驟
（1）列表：列表給出自變數與函式的一些對應值。
（2）描點：以表中每對對應值為座標，在座標平面內描出相應的點。
（3）連線：按照自變數由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連線起來。
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I.定義與定義表示式
一般地，自變數_和因變數y之間存在如下關係：y=a_^2+b_+c則稱y為_的二次函式。
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函式的三種表示式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限於與_軸有交點A(_?，0)和B(_?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函式的影象
在平面直角座標系中作出二次函式y=_^2的影象，可以看出，二次函式的影象是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線_=-b/2a。
對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個頂點P，座標為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在_軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0，c)
6.拋物線與_軸交點個數
Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與_軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與_軸沒有交點。
_的取值是虛數(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)
V.二次函式與一元二次方程
特別地，二次函式(以下稱函式)y=a_^2+b_+c，
當y=0時，二次函式為關於_的一元二次方程(以下稱方程)，即a_^2+b_+c=0
此時，函式影象與_軸有無交點即方程有無實數根。函式與_軸交點的橫座標即為方程的根。
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第一、求函式定義域題忽視細節函式的定義域是使函式有意義的自變數的取值範圍，考生想要在考場上準確求出定義域，就要根據函式解析式把各種情況下的自變數的限制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函式的定義域。
在求一般函式定義域時，要注意以下幾點：分母不為0;偶次被開放式非負;真數大於0以及0的0次冪無意義。函式的定義域是非空的數集，在解答函式定義域類的題時千萬別忘了這一點。複合函式要注意外層函式的定義域由內層函式的值域決定。
第二、帶絕對值的函式單調性判斷錯誤帶絕對值的函式實質上就是分段函式，判斷分段函式的單調性有兩種方法：第一，在各個段上根據函式的解析式所表示的函式的單調性求出單調區間，然後對各個段上的單調區間進行整合;第二，畫出這個分段函式的圖象，結合函式圖象、性質能夠進行直觀的判斷。函式題離不開函式圖象，而函式圖象反應了函式的所有性質，考生在解答函式題時，要第一時間在腦海中畫出函式圖象，從圖象上分析問題，解決問題。
對於函式不同的單調遞增(減)區間，千萬記住，不要使用並集，指明這幾個區間是該函式的單調遞增(減)區間即可。
第三、求函式奇偶性的常見錯誤求函式奇偶性類的題最常見的錯誤有求錯函式定義域或忽視函式定義域，對函式具有奇偶性的前提條件不清，對分段函式奇偶性判斷方法不當等等。判斷函式的奇偶性，首先要考慮函式的定義域，一個函式具備奇偶性的必要條件是這個函式的定義域區間關於原點對稱，如果不具備這個條件，函式一定是非奇非偶的函式。在定義域區間關於原點對稱的前提下，再根據奇偶函式的定義進行判斷。
在用定義進行判斷時，要注意自變數在定義域區間內的任意性。
第四、抽象函式推理不嚴謹很多抽象函式問題都是以抽象出某一類函式的共同“特徵”而設計的，在解答此類問題時，考生可以透過類比這類函式中一些具體函式的性質去解決抽象函式。多用特殊賦值法，透過特殊賦可以找到函式的不變性質，這往往是問題的突破口。
抽象函式性質的證明屬於代數推理，和幾何推理證明一樣，考生在作答時要注意推理的嚴謹性。每一步都要有充分的條件，別漏掉條件，更不能臆造條件，推理過程層次分明，還要注意書寫規範。
第五、函式零點定理使用不當若函式y=f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<0。那麼函式y=f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0。這個c也可以是方程f(c)=0的根，稱之為函式的零點定理，分為“變號零點”和“不變號零點”，而對於“不變號零點”，函式的零點定理是“無能為力”的，在解決函式的零點時，考生需格外注意這類問題。
第六、混淆兩類切線曲線上一點處的切線是指以該點為切點的曲線的切線，這樣的切線只有一條;曲線的過一個點的切線是指過這個點的曲線的所有切線，這個點如果在曲線上當然包括曲線在該點處的切線，曲線的過一個點的切線可能不止一條。
因此，考生在求解曲線的切線問題時，首先要區分是什麼型別的切線。
第七、混淆導數與單調性的關係一個函式在某個區間上是增函式的這類題型，如果考生認為函式的導函式在此區間上恆大於0，很容易就會出錯。
解答函式的單調性與其導函式的關係時一定要注意，一個函式的導函式在某個區間上單調遞增(減)的充要條件是這個函式的導函式在此區間上恆大(小)於等於0，且導函式在此區間的任意子區間上都不恆為零。
第八、導數與極值關係不清考生在使用導數求函式極值類問題時，容易出現的錯誤就是求出使導函式等於0的點，卻沒有對這些點左右兩側導函式的符號進行判斷，誤以為使導函式等於0的點就是函式的極值點，往往就會出錯，出錯原因就是考生對導數與極值關係沒搞清楚。可導函式在一個點處的導函式值為零隻是這個函式在此點處取到極值的必要條件。
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奇函式和偶函式的定義：
奇函式：如果函式f（x）的定義域中任意x有f（—x）=—f（x），則函式f（x）稱為奇函式。
偶數函式：如果函式f（x）的定義域中任意x有f（—x）=f（x），則函式f（x）稱為偶數函式。
性質：
奇函式性質：
1、圖象關於原點對稱
2、滿足f（—x）= — f（x）
3、關於原點對稱的區間上單調性一致
4、如果奇函式在x=0上有定義，那麼有f（0）=0
5、定義域關於原點對稱（奇偶函式共有的）
偶函式性質：
1、圖象關於y軸對稱
2、滿足f（—x）= f（x）
3、關於原點對稱的區間上單調性相反
4、如果一個函式既是奇函式有是偶函式，那麼有f（x）=0
5、定義域關於原點對稱（奇偶函式共有的）
常用運算方法：
奇函式±奇函式=奇函式；
偶函式±偶函式=偶函式；
奇函式×奇函式=偶函式；
偶函式×偶函式=偶函式；
奇函式×偶函式=奇函式。
證明方法：
設f（x），g（x）為奇函式，t（x）=f（x）+g（x），t（—x）=f（—x）+g（—x）=—f（x）+（—g（x））=—t（x），所以奇函式加奇函式還是奇函式；
若f（x），g（x）為偶函式，t（x）=f（x）+g（x），t（—x）=f（—x）+g（—x）=f（x）+g（x）=t（x），所以偶函式加偶函式還是偶函式。