三角函式的圖象與性質測試題
《1.4 三角函式的圖象與性質（3）》測試題
一、選擇題
1.下列函式在上為增函式的是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查三角函式的圖象和單調性.
答案：D.
解析：透過作出這四個三角函式的圖象可知，在上單調遞增.
2.函式的一條對稱軸是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查三角函式的圖象與性質.
答案：A.
解析：正弦函式圖象的對稱軸在最值處，可以逐一驗證四個選項.∵當時，取得函式的最大值，∴答案選A.
3.已知奇函式在上為單調遞減函式，又為銳角三角形兩內角，則( ).
A. B.
C. D.
考查目的：考查三角函式的單調性、有界性和誘導公式.
答案：D.
解析：∵，且在上單增，∴.又∵在上單調遞減，∴.
二、填空題
4.函式的單調遞增區間是 .
考查目的：考查正弦函式的圖象和單調性.
答案：.
解析：∵，∴.
5.當時，函式的最小值是 ，最大值是 .
考查目的：考查三角函式的圖象與最值.
答案：.
解析：∵，∴，∴.
6.若在區間上的最大值為，則 .
考查目的：考查三角函式的圖象與性質，及數形結合思想.
答案：.
解析：∵，又∵當時，，∴是單增區間的一個子區間，∴，，解得.
三、解答題
7.求函式的最大值和最小值.
考查目的：考查正弦函式的有界性與二次函式的性質
答案：10，2
解析：∵，又∵，∴.
8.設函式圖象的一條對稱軸是直線.
⑴求；
⑵求函式的單調遞增區間；
⑶求函式在區間上的值域.
考查目的：考查三角函式的圖象與性質.
答案：⑴；⑵；⑶
解析：⑴∵，，∴；
⑵由得，∴的單調遞增區間為；
高一數學集合知識點總結
【讀者按】高一數學集合知識點總結：集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的物件都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件……
一.知識歸納：
1.集合的有關概念。
1)集合(集)：某些指定的物件集在一起就成為一個集合(集).其中每一個物件叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是透過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的物件都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類：有限集，無限集，空集。
4)常用數集：N，Z，Q，R，N*
2.子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念。
1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB);
2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且)
3)交集：A∩B={xx∈A且x∈B}
4)並集：A∪B={xx∈A或x∈B}
5)補集：CUA={xxA但x∈U}
注意：①?A，若A≠?，則?A;
②若，，則;
③若且，則A=B(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關係，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。
4.有關子集的幾個等價關係
①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。
5.交、並集運算的性質
①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
6.有限子集的個數：設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。
二.例題講解：
【例1】已知集合M={xx=m+,m∈Z},N={xx=,n∈Z},P={xx=,p∈Z}，則M,N,P滿足關係
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一：從判斷元素的共性與區別入手。
解答一：對於集合M：{xx=,m∈Z};對於集合N：{xx=,n∈Z}
對於集合P：{xx=,p∈Z}，由於3(n-1)+1和3p+1都表示被3除餘1的數，而6m+1表示被6除餘1的數，所以MN=P，故選B。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，這時不要急於判斷三個集合間的關係，應分析各集合中不同的元素。
=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，
=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以選B。
點評：由於思路二隻是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設集合，，則(B)
A.M=NB.MNC.NMD.
解：
當時，2k+1是奇數，k+2是整數，選B
語文有什麼好的記憶方法？
專題推薦：
數學解題中的通性通法
對於中學階段用於解答數學問題的方法，可將其分為三類：
（1）具有創立學科功能的方法.如公理化方法、模型化方法、結構化方法，以及集合論方法、極限方法、座標方法、向量方法等.在具體的解題中，具有統帥全域性的作用.
（2）體現一般思維規律的方法.如觀察、試驗、比較、分類、猜想、類比、聯想、歸納、演繹、分析、綜合等.在具體的解題中，有通性通法、適應面廣的特徵，常用於思路的發現與探求.
（3）具體進行論證演算的方法.這又可以依其適應面分為兩個層次：第一層次是適應面較寬的求解方法，如消元法、換元法、降次法、待定係數法、反證法、同一法、數學歸納法（即遞推法）、座標法、三角法、數形結合法、構造法、配方法等等；第二層次是適應面較窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解裡的“裂項法”、函式作圖的“描點法”、以及三角函式作圖的“五點法”、幾何證明裡的“截長補短法”、“補形法”、數列求和裡的“裂項相消法”等.
我們知道，數學是關於數與形的科學，數與形的有機結合是數學解題的基本思想.數學是關於模式的科學，這反映了在數學解題時，需要進行“模式識別”，需要構建標準的模型.往往遇到的問題是標準模型裡的引數是需要待定的，這說明待定係數法屬於解題的通性通法.數學是一種符號，引入符號可以將自然語言轉換為符號語言，透過中間量的代換，就能將複雜問題簡單化.數學解題就是一系列連續的化歸與轉化，將複雜問題簡單化、陌生問題熟悉化，其消元、減少參變元的個數是常用的方法.在代數式的變形中，則往往要分離出非負的量，配方技術是經常使用且很奏效的方法.
數形轉換、待定係數、變數代換、消元、配方法等是中學數學解題的通性通法.把幾何的直觀推理、代數的有序推理、解題的通性通法與具體的案例結合起來，整體把握數學解題的通性通法，抓住通性通法的本質，科學有效地實施解題分析、解題思維鏈的形成、解題後的反思與最佳化，從而透過有限問題的訓練來獲得解答無限問題的解題智慧。
高一數學知識點總結之函式定義域 值域
編者按：小編為大家收集了“高一數學知識點總結之函式定義域 值域”，供大家參考，希望對大家有所幫助!
定義域
(高中函式定義)設A，B是兩個非空的'數集，如果按某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A--B為集合A到集合B的一個函式，記作y=f(x)，x屬於集合A。其中，x叫作自變數，x的取值範圍A叫作函式的定義域。
值域
名稱定義
函式中，應變數的取值範圍叫做這個函式的值域函式的值域，在數學中是函式在定義域中應變數所有值的集合。
常用的求值域的方法
(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合);(3)函式單調性法;(4)配方法;(5)換元法;(6)反函式法(逆求法);(7)判別式法;(8)複合函式法;(9)三角代換法;(10)基本不等式法等
關於函式值域誤區
定義域、對應法則、值域是函式構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函式的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處於互相轉化之中(典型的例子是互為反函式定義域與值域的相互轉化)。如果函式的值域是無限集的話，那麼求函式值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時並不能奏效，還必須聯絡函式的奇偶性、單調性、有界性、週期性來考慮函式的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利於對定義域內函的理解，從而深化對函式本質的認識。
“範圍”與“值域”相同嗎?
“範圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函式值的集合(即集合中每一個元素都是這個函式的取值)，而“範圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說：“值域”是一個“範圍”，而“範圍”卻不一定是“值域”。
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[數學]重點解決綜合性問題
第複習一般以知識、技能、方法的逐點掃描和梳理為主，綜合運用知識為輔，第二輪複習以專題性複習為主，這一階段所涉及的數學問題多半是綜合性問題，提高解數學綜合性問題的能力是提高高考數學成績的根本保證。
解好綜合題對於那些想考一流大學，並對數學成績期望值較高的同學來說，是一道生命線，往往成也蕭何敗也蕭何；對於那些定位在二流大學的學生而言，這裡可是放手一搏的好地方。
一、綜合題在高考試卷中的位置與作用
數學綜合性試題常常是高考試卷中把關題和壓軸題。在高考中舉足輕重，高考的區分層次和選拔使命主要靠這類題型來完成預設目標。目前的高考綜合題已經由單純的知識疊加型轉化為知識、方法和能力綜合型尤其是創新能力型試題。綜合題是高考數學試題的精華部分，具有知識容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數學思想方法的運用以及要求考生具有一定的創新意識和創新能力等特點。
二、解綜合性問題的三字訣“三性”：
綜合題從題設到結論，從題型到內容，條件隱蔽，變化多樣，因此就決定了審題思考的複雜性和解題設計的多樣性。在審題思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明確解題結果的終極目標和每一步驟分專案標。(2)準確性：提高概念把握的準確性和運算的準確性。(3)隱含性：注意題設條件的隱含性。審題這第一步，不要怕慢，其實慢中有快，解題方向明確，解題手段合理，這是提高解題速度和準確性的前提和保證。
“三化”：
(1)問題具體化(包括抽象函式用具有相同性質的具體函式作為代表來研究，字母用常數來代表)。即把題目中所涉及的各種概念或概念之間的關係具體明確，有時可畫表格或圖形，以便於把一般原理、一般規律應用到具體的解題過程中去。(2)問題簡單化。即把綜合問題分解為與各相關知識相聯絡的簡單問題，把複雜的形式轉化為簡單的形式。(3)問題和諧化。即強調變換問題的條件或結論，使其表現形式符合數或形內部固有的和諧統一的特點，或者突出所涉及的各種數學物件之間的知識聯絡。
“三轉”：
(1)語言轉換能力。每個數學綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成。解綜合題往往需要較強的語言轉換能力。還需要有把普通語言轉換成數學語言的能力。(2)概念轉換能力：綜合題的轉譯常常需要較強的數學概念的轉換能力。(3)數形轉換能力。解題中的數形結合，就是對題目的條件和結論既分析其代數含義又分析其幾何意義，力圖在代數與幾何的結合上找出解題思路。運用數形轉換策略要注意特殊性，否則解題會出現漏洞。
“三思”：
(1)思路：由於綜合題具有知識容量大，解題方法多，因此，審題時應考慮多種解題思路。(2)思想：高考綜合題的設定往往會突顯考查數學思想方法，解題時應注意數學思想方法的運用。(3)思辯：即在解綜合題時注意思路的選擇和運算方法的選擇。
“三聯”：
(1)聯絡相關知識，(2)連線相似問題，(2)聯想類似方法。
三、反思平時做完綜合練習後，要注重反思這一環節，注意方法的最佳化。要把解題的過程抽象形成思維模組，注意方法的遷移和問題的拓展。
高中數學學習方法之上課法
高中數學學習方法之上課法
課堂教學是教學過程中最基本的環節，不言而喻，上課也應是同學們學好功課、掌握知識、發展能力的決定性一環。上課要做到：
1、課前準備好上課所需的課本、筆記本和其他文具，並抓緊時間簡要回憶和複習上節課所學的內容。
2、要帶著強烈的求知慾上課，希望在課上能向老師學到新知識，解決新問題。
3、上課時要集中精力聽講，上課鈴一響，就應立即進入積極的學習狀態，有意識地排除分散注意力的各種因素。
4、聽課要抬頭，眼睛盯著老師的一舉一動，專心致志聆聽老師的每一句話。要緊緊抓住老師的思路，注意老師敘述問題的邏輯性，問題是怎樣提出來的，以及分析問題和解決問題的方法步驟。
5、如果遇到某一個問題或某個問題的一個環節沒有聽懂，不要在課堂上“鑽牛角尖”，而要先記下來，接著往下聽。不懂的問題課後再去鑽研或向老師請教。
6、要努力當課堂的主人。要認真思考老師提出的每一個問題，認真觀察老師的每一個演示實驗，大膽舉手發表自己的看法，積極參加課堂討論。
7、要特別注意老師講課的開頭和結尾。老師的“開場白”往往是概括上節內容，引出本節的新課題，並提出本節課的目的要求和要講述的中心問題，起著承上起下的作用。老師的課後總結，往往是一節課的精要提煉和複習提示,是本節課的高度概括和總結。
8、要養成記筆記的好習慣。最好是一邊聽一邊記，當聽與記發生矛盾時，要以聽為主，下課後再補上筆記。記筆記要有重點，要把老師板書的知識提綱、補充的課外知識、典型題目的解題步驟和課堂上沒有聽懂的問題記下來，供課後複習時參考。
神奇的黃金數
植物葉子，千姿百態，生機盎然，給大自然帶來了美麗的綠色世界。儘管葉子形狀隨種而異，但它在莖上的排列順序(稱為葉序)，卻是極有規律的。
圖 1
你從植物莖的頂端向下看，經細心觀察，發現上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5o角。如果每層葉子只畫一片來代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5o，以後二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這個角度數。植物學家經過計算表明：這個角度對葉子的採光、通風都是最佳的。葉子的排布，多麼精巧！
葉子間的137.5o角中，藏有什麼“密碼”呢？我們知道，一週是 360o，
360o-137.5o=222.5o
137.5o :222.5o 222≈0.618。
瞧，這就是“密碼”!葉子的精巧而神奇的排布中，竟然隱藏著0.618。
有些植物的花瓣及主幹上枝條的生長，也是符合這個規律的。
19世紀中葉，德國心理學家費希納曾經做過一次別出心裁的試驗。他召開一次“矩形展覽會”，會上展出了他精心製作的各種矩形，並要求參觀者投票選擇各自認為最美的矩形。結果以下四種矩形入選：
矩形長×寬寬與長之比 18×55∶8=0.625 213×88∶13=0.615 321×1313∶21=0.619 434×2121∶34=0.618
矩形 長×寬 寬與長之比
1 8×5 5∶8=0.625
2 13×8 8∶13=0.615
3 21×13 13∶21=0.619
4 34×21 21∶34=0.618
有趣的是，所得的四個矩形的長與寬，它們的比都接近於0.618。
今人驚訝的是，人體自身也和0.618密切相關。對人體解剖很有研究的義大利畫家達?芬奇發現，人的肚臍位於身長的0.618處。科學家們還發現，當外界環境溫度為人體溫度的0.618倍時，人會感到最舒服。
難道這些都是偶然的巧合嗎? 不!它是客觀世界反映出來的規律之一。數學家們發現：
把一條線段AB用點C分割成AC、CB兩部分(如圖2)，若要使
AB∶AC=AC∶CE，
即
則當AB=1時，。
圖2
由於這樣得出的0.618有許多極為寶貴的性質，因此，人們珍惜地稱它為黃金數，稱點C為黃金分割點，稱這種分割為黃金分割。
黃金數0.618，如今已越來越多地被人們所認識，並被人們所利用。
古希臘帕提依神廟由於高和寬的比是0.618，成了舉世聞名的完美建築。建築師們發現，按這樣的比例來設計殿堂，殿堂更加雄偉、壯麗；去設計別墅，別墅將更加舒適、美麗。連一扇門窗若設計為黃金矩形都會顯得更加協調和令人賞心悅目。
高雅的藝術殿堂裡，自然也留下了黃金數的足跡。畫家們發現，按0.618∶1來設計腿長與身高的比例，畫出的人體身材最優美，而現今的女性，腰身以下的長度平均只佔身高的0.58，因此古希臘維納斯女塑像及太陽神阿波羅的形象都透過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創造藝術美。難怪許多姑娘都願意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演員則在翩翩起舞時，不時地踮起腳尖。
音樂家發現，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1時，奏出來的音調最和諧、最悅耳。
只要留心，到處都可發現黃金數這位美的“使者”的足跡。運用於科學實驗和工農業生產的優選法中的0.618法，還能給我們帶來巨大的經濟效益呢!黃金數0.618，真是一件造福人類的絢麗瑰寶!